f(x) = 1/4 x^3 - kx + 4

Question

k>=0 ^ k€IR

1. Wendepunkt

2. zunehmende Monotonie

3. Wert von k, welcher geeignet für Wendetangente y=-3x+4 ist

4. k=3, Gf3  nullstellen und vielfachheiten, linearfaktoren

4.1 rel. extrempunkte, wertetabelle

5. parabel Gp mit Dp=IR mit Nullstelle bei x0=-4,  Schnittpunkt mit Gf3 auf y achse mit steigung m=1/3

    gesucht: funktionsterm px

5.1 koordinaten scheitelpunkt Gp

Answer 1

1. Wendepunkt

Hi, der Graph von \(f\) kann als eine um 4 Einheiten nach oben verschobene Kurve mit der Gleichung \(y=\frac 14\cdot x^3 - kx\) aufgefasst werden. Letztere ist symmetrisch zum Ursprung als ihrem einzigen Wendepunkt. \(f\) hat daher den Wendepunkt \((0|4)\) und ist symmetrisch zu diesem.

3. Wert von k, welcher geeignet für Wendetangente y=-3x+4 ist

Der lineare Anteil der Gleichung von \(f\) ist die Gleichung der Wendetangente. Es muss also \(k=3\) gelten.

Ich habe diese beiden Punkte aus der Aufgabe herausgegriffen, um deutlich zu machen, dass es hier keinerlei Rechnungen bedarf, um die jeweiligen Aufgaben abschließend zu erledigen. Man spricht ja auch von "Mathematik" und nicht nur von "Rechnen"!

Comments

Noch eine Erläuterung zu 3.): Der lineare Anteil einer ganzrationalen Funktion beschreibt allgemein die Gleichung ihrer Tangente an der Stelle \(x=0\). Da im speziellen Fall der Wendepunkt auf der y-Achse liegt, ist das eben die Wendetangente.

Answer 2

5.

p(-4) = 0 --> 16·a - 4·b + c = 0

p(0) = 4 --> c = 4

p'(0) = 1/3 --> b = 1/3

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = - 1/6 ∧ b = 1/3 ∧ c = 4

p(x) = - 1/6·x^2 + 1/3·x + 4

5.1

Scheitelpunkt

Sx = -b/(2a) = -1/3/(2*(-1/6)) = 1

Sy = p(1) = 25/6

S(1 | 25/6)