Rotationsvolumen (Rotation um y-Achse)

Question

ich habe hier folgende Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme:

Die Tangente an den Graphen der Funktion $$ f\left( x \right)=-x²+2 $$ im Punkt P(u;v) mit $$ 0\quad <\quad u\quad \leqq \quad \sqrt { 2 } $$ bestimmt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck, das bei Rotation um die y-Achse einen Kegel mit dem Volumen V(u) erzeugt. Ermitteln Sie die Funktion V(u).

Hat jemand eine Idee, wie man da vorgehen könnte? Wie bekommt man die Tangentengleichung?

Answer 1

die allgemeine Tangentenformel lautet:

t(x)=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)

Comments

Danke dir, ich habs mal mit der Tangentenformel probiert und da kommt raus:

t(x)=-2u*x+u²+2

Um die Rotation um die y-Achse zu beschrieben, habe ich die Umkehrfunktion aus f(x) gebildet, die bei mir lautet:

g(x)=-(x-u²-2)/2u

Und dann einfach in die Formel zur Berechnung des Volumens eingesetzt:

$$ V\quad =\quad \pi \int _{ 0 }^{ \sqrt { 2 }  }{ (-\frac { x-u²-2 }{ 2u } )\quad dx\quad =\quad \pi (-1-\frac { 1 }{ 3 } u³-2*ln\left| 2u \right| +\frac { 1 }{ 3 } u³+2*ln\left| 2u \right| ) } \quad =\quad -\pi \quad VE $$

Kann jemand kontrollieren, ob das Volumen so stimmt?

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Also deine Tangentenfunktion stimmt erstmal.

Zeichne dir mal den Sachverhalt auf. Das Endergebnis V sollte schon von u abhängen!

Ich würde hier auch nicht mit Integralrechnung arbeiten, da man da sehr schnell Fehler macht.

Für das Volumen kannst du ja auch die geometrische Formel nehmen. Du brauchst bloß Höhe und Radius des Kegels.

Die Höhe ist der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse.

t(x)=u^2-2ux+2

t(0)=u^2+2=h

Radius ist Nullstelle von t(x)

t(x)=0

x=(u^2+2)/(2u)=r

V=1/3*A_G*h=π/3*r^2*h=π/3*(u^2+2)^2/(2u)^2*(u^2+2)=π/3*(u^2+2)^3/(2u)^2

V(u)=π*(u^2+2)^3/(12u^2)

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Stimmt, du hast recht. Danke für den Rechenweg!

Answer 2

Die Tangentengleichung von f an der Stelle u bekommst du, indem du in der allgemeinen Funktionsgleichung für lineare Funktionen

        t(x) = mx + n

das m und das n mittels des Gleichungssystems

        t(u) = f(u)

        t'(u) = f'(u)

bestimmst.