Wurzelgleichung mit Differenz lösen? √(9x+9) - √(7x-7) = √(-x+12)

Question

Vielleicht kann mir jemand hierbei helfen:

√(9x+9) - √(7x-7) = √(-x+12)

 9x+9 steht gesamt unter der Wurzel, sowie 7x-7 und -x+12, hoffe ihr versteht was ich meine

EDIT(Lu): Klammern um die Radikanden ergänzt. 

Comments

Da x nur Werte zwischen 1 und 12 annehmen kann, ist die ganzzahlige Lösung 8 nicht so schwer zu entdecken...

---

> 9x+9 steht gesamt unter der Wurzel

Mathematiker haben dafür Klammern erfunden.

> sowie 7x-7

Dafür auch.

> und -x+12

Und auch dafür.

> hoffe ihr versteht was ich meine

Ja, das tun wir Dank deiner Erläuterungen. Würdest du dich aber aber an die allgemein akzeptierten Regeln für die Notation von mathematischen Ausdrücken halten, dann könntest du dir die Erläuterungen ersparen.

Historisch gesehen sieht es so aus:

• Ein Strich über einem Teilausdruck hat besagt "muss zuerst ausgerechnet werden".
• Das "√" ist ein stilisiertes "r" für "root", zu deutsch "Wurzel"
• Beides kombiniert ergibt solche Ausdrücke wie \(\sqrt{9x+9}\): zuerst wird 9x+9 ausgerechnet und erst von dem Ergebnis wird die Wurzel gezogen.
  
• Im Laufe der Zeit wurde der Strich über einem Teilausdruck durch Klammern ersetzt.
• Lediglich bei Wurzeln hat sich der Strich über einem Teilausdruck erhalten. Trotzdem dürfen (falls dieser nicht verfügbar ist), Klammern verwendet werden.
  

---

die ganzzahlige Lösung 8

Warum hast du nicht die Möglichkeit in Betracht gezogen, dass der Fragesteller eventuell alle Lösungen suchen könnte ?

---

"Da x nur Werte zwischen 1 und 12 annehmen kann, ist die ganzzahlige Lösung 8 nicht so schwer zu entdecken ..."

(1) x nimmt Werte von 1 bis 12 an, das ist ein Unterschied.

(2) In der Mathematik wird gerechnet, nicht geraten.

Grüße,

M.B.

---

die ganzzahlige Lösung 8

Warum hast du nicht die Möglichkeit in Betracht gezogen, dass der Fragesteller eventuell alle Lösungen suchen könnte ?

Das habe ich in Betracht gezogen, allerdings wollte ich darauf nicht mehr ausdrücklich eingehen, da im Nachgang die erschöpfende Komplettrechnung ohnehin zu erwarten war. Ich wollte nur meinen ersten Eindruck wiedergeben.

Answer 1

Wurzelfunktion lösen?

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungen.

Answer 2

Wurzeln bekommt man durch Quadrieren weg.

> √9x+9 - √7x-7 = √-x+12

        (√9x+9 - √7x-7)² = -x+12

Links ausmultiplizieren liefert:

        (9x+9) - 2·√(9x+9)·√(7x-7) + (7x-7) = -x+12

Wurzeln mit Wurzelgesetzen zusammenfassen:

        (9x+9) - 2·√((9x+9)·(7x-7)) + (7x-7) = -x+12

Nach der Wurzel auflösen:

         √((9x+9)·(7x-7)) = -1/2·(-x+12 - (7x-7) - (9x+9))

Erneut quadrieren und du bist fast fertig.

Beachte dabei, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Das heißt, du kannst dir Scheinlösungen einfangen und musst deshalb auf jeden Fall die Probe machen.

Answer 3

Du musst beide Seiten quadrieren:

$$(\sqrt{9x+9} - \sqrt{7x-7})^2 = (\sqrt{-x+1})^2$$

Das ergibt

$$(9x+9)-2\sqrt{9x+9}\sqrt{7x-7}+(7x-7)= (-x+1)$$

Wurzel links lassen, alles andere nach rechts und zusammenfassen, dann nochmals quadrieren, dann nach x auslösen. Alle Lösungen in die Originalgleichung einsetzen und überprüfen. (Durch das doppelte Quadrieren hast Du einige ungültige Lösungen dabei.)

Grüße,

M.B.