Fläche zwischen 2 Funktionen über Integral berechnen

Question

Ich soll den Inhalt der Fläche bestimmen die von den beiden Kurven y=2*√x   und y=0,25*x^2 eingeschlossen wird.

Zuerst habe ich zwei Schnittstellen berechnet, dort bin ich auf x=0 und X=4 gekommen. Stimmt das so?

Des weiteren habe ich dann das Integral in den Grenzen von 0 bis 4 (0,25 * x^2 -2*√x) dx aufgestellt. Das integriert ergibt  [(1/12) *x^3 - (4/3) * x ^3/2  ]⁴₀ 

Der Betrag davon ergibts bei mir für die Fläche 16/3, stimmt das?

Answer 1

du hast das perfekt gelöst.

Gruß Wolfgang

Comments

Wie im Bild schön zu sehen ist, sind beide Begrenzungskurven symmetrisch zur Diagonalen \(y=x\). Dies lässt sich nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen:

$$ A = 4^2-2 \cdot \int_0^4{\frac 14 \cdot x^2}\text{ d}x = \frac { 16 } { 3 } $$

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Nur weil es im Bild symmetrisch ausschaut muss es ja nicht tatsächlich so sein. Wenn man das vermutet (was ja auch stimmt), dann müsste man das vorher denke ich noch rechnerisch nachweisen.