Wendestellen, Steilheit

Question

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ich hatte zwei Aufgaben in denen gefragt wurde "Wie steil" etwas ist. Bei der einen Aufgabe habe ich die Wendestelle berechnet siehe Aufgabe voon vor paar Tagen: https://www.mathelounge.de/379814/steckbriefaufgabe-steigung-talsohle-mit-abhangen und bei der anderen Aufgabe von heute: https://www.mathelounge.de/380502/profil-eines-dachs-wendestellen-berechnen?show=380627#c380627 hatte ich ebenfalls eine Frage, die auf die Steilheit anspielte.

Wenn die Frage lautet "Wie steil ist .... maximal?", muss ich hier doch die Wendestellen berechnen und bei der Frage "Wie steil ist....?" nur die Steigung also die 1.Ableitung oder?

Ich bin gerade ein wenig irritiert und hoffe, dass jemand mich aufklären kann.

Ich möchte es unbedingt verstehen.

Answer 1

Wenn die Frage lautet "Wie steil ist .... maximal?", muss ich hier doch die Wendestellen berechnen und bei der Frage "Wie steil ist....?" nur die Steigung also die 1.Ableitung oder?Das 2. stimmt genau, beim ersten ist dann natürlich noch zu testen, ob an den

Wendestellen die größte bzw. die kleinste Steigung vorhanden ist.

Comments

Was meinen Sie damit?

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Wenn die Frage lautet "Wie steil ist .... maximal?", muss ich hier doch die Wendestellen berechnen

Genau. Aber du musst auch schauen, ob die Ergebnissen Stellen sind, bei denen die

Steigung maximal oder minimal ist.

je nachdem, wie die Frage gestellt ist. Also:  größte Steigung würde heißen

Maximum von f ' , also eine Wendestelle, bei der auf jeden Fall eine positive

Steigung zu verzeichnen ist.

Bei größtem Gefälle muss eine negative Steigung an der Wendestelle

vorhanden sein.

Deine andere Frage:   "Wie steil ist....?"

da reicht in der Tat der Wert der 1. Ableitung an dieser Stelle.

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Kannst Du mir ein Beispiel geben? Mit einer Funktion.

zB bei der hier : 1/16x^3+3/8x^2

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f'(x)= 3/16x^2+3/4x

wie gehe ich nun vor´?

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um welche Frage zu klären ?

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Wie steil ist... maximal?

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Wenn das nicht auf einen bestimmten Bereich beschränkt ist, dann

geht das gar nicht, denn  f ' (x) nimmt für x gegen unendlich

beliebig große Werte an,  der Graph von f ist also so steil,dass jeder vorgegebene Wert der Steigung irgendwann überboten wird.

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intervall:  -5<x<0

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Dann macht es mehr Sinn.  War es sogar  -5≤x≤0  ???

Dann erst mal  f ' ' (x) =  3/8 x + 3/4

also f ' ' (x) = 0 nur für  x=-2 .

f' ' ' (-2) = 3/8  > 0   ,   also bei x = -2 hat die Steigung
ein relatives Minimum von  f ' ( -2) = -3/4 .Es liegt also ein Gefälle vor.  Und da die Steigung bei x=-2

im betrachteten Intervall hier den kleinsten Wert hat, ist das
sozusagen die steilste Stelle, d.h. es geht am stärksten

abwärts. siehe auch die rote Tangente:

~plot~ 1/16x^3 +3/8x^2 ; -0,5-0,75x ~plot~

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f' ' ' (-2) = 3/8  > 0 ? sollte das nicht f'''(x) sein?

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Ja genau, fehlt ein Strich.

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Wie erkenne ich dass -2 im betrachteten Intervall den kleinsten Wert hat?

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Dann erst mal  f ' ' (x) =  3/8 x + 3/4 ausrechnen und

dann  f ' ' (x) = 0

also    3/8 x + 3/4  = 0     | -3/4 


            3/8 x     =   -  3/4     | :       3/8          

               x=-2 .