Integral berechnen. Inhalte der beschriebenen Flächen bei a), b) und c) f(x) = x^3 - x?

Question

Kann mir bitte jemand die a,b  c errechnen? Vielendank :-)

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Die Fläche zwischen Graph und x-Achse im 4. Quadranten ist unendlich groß (Fehler?)

Answer 1

Zeichne zunächst die Graphen auf. Berechne dazu Nullstellen. Beachte nur das du beim Integrieren nicht über Nullstellen ohne Nachzudenken hinweg integrierst.

Beachte das Flächen keinen negativen Flächeninhalt haben. D.h. wenn du den gerichteten Flächeninhalt bestimmt hast, der auch negativ sein kann, solltest du die Fläche als Betrag angeben.

a) ∫ (0 bis 2) (x^2 - x + 1) dx = 8/3

b) ∫ (1 bis 3) (1/x^2) dx = 2/3

c) ∫ (0 bis 1) (x^3 - x) dx = - 1/4

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Super danke! :) & muss man jedes mal die Nullstellen berechnen? Und warum muss man das überhaupt machen? Also wenn da zb eine nullstelle bei 1 wäre dass man erst von 0 bis 1 integriert & dann von 1 bis 2 zum beispiel? (a)

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Genau. Wenn es um Flächen geht darf man nicht ohne nachzudenken über Nullstellen hinweg integrieren. Dann muss man das Integral wie du sagtest eventuell aufteilen.

Bei b) und c) siehst du aber schon an der Funktion, das es keine Nullstelle im Intervall geben kann.

Answer 2

zu a)

=∫ (x^2-x+1)dx von  0 bis 2

= x^3/3  -x^2/2 +x

= 8/3 -2 +2 -(0)

=8/3

Answer 3

Hallo Niki,

b) 

f(x) = 1/x² hat keine Nullstellen 

A = ₁∫³ 1/x² dx  =  [  -  x^-1 ]₁³  = - 3^-1 - (-1)^-1 = -1/3 + 1 = 2/3 

Gruß Wolfgang

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Danke :) aber was würde sich denn eigentlich ändern wenn die aufgabe eine nullstelle hätte?

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Wenn die NS in [1,3] läge, müsstest von 1 bis zur Nullstelle und dann von der Nullstelle bis 3 integrieren, vorsichtshalber die Beträge der Integrale nehmen (letztere könnten negativ sein!) und diese dann addieren.

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Danke dir jetzt habe ich es verstanden

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Muss ich aber jede funktion vor dem integrieren auf nullstelle/n überprüfen also wenn diese nicht gegeben sind/ist?

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Ja, musst du in jedem Fall, sonst können sich  falsche Werte für die Fläche ergeben.