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welche parikuläre Lösung bekomme ich bei einer DGL. 1. Ordnung in der Form von:


3Y' + 5Y = 2 x sin (x)


Bisher hatte ich noch nie eine DGL mit einer solchen Störfunktion und komme auch auf keinen Ansatz.


Für die homogene Lösung habe ich bereits YH = C*e-(5/3)x ausgerechnet.

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ich habe Dir in Deiner anderen Frage einen allgemeinen Ansatz gegeben, der funktioniert auch hier.

a = 0, b = 1, c = 0, P1 = 0, P2 = 2x

Grüße,

M.B.

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Hallo und danke erstmal für die schnelle Antwort.

Allerdings bekomme ich deinen Ansatz leider nicht auf meine Aufgabe übertragen.

Ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen:


yp = (Ax+B) ( c*sinx + D cosx )

yp = AxCsinx + AxD cosx + Bc sinx + BD cosx

dann habe ich es yp = C1xsinx + C2x cosx + C3 sinx + C4 cosx  umgeschrieben, kann man das so machen?

Ich komme so auf die vorgegebene Lösung der Aufgabe.


Gruß

für eine inhomogene lin. Dgl. mit konst. Koeff. bei der die rechte Seite die Form

$$\dots = e^{ax} (P_1 \cos (bx+c) + P_2 \sin (bx+c))$$

hat, hast Du eine partikuläre Lösung der Form

$$\overline y_p = x^k e^{ax} (Q_1 \cos (bx+c) + Q_2 \sin (bx+c))$$

Mit \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 0\), \(P_1 = 0\), \(P_2 = 2x\) hast Du dann

$$\dots = 2x \sin (x)$$

und den Ansatz

$$\overline y_p = x^k (Q_2 \sin (x))$$

mit \(k\) ist die Vielfachheit von \(a+bi = i\) als Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

Damit: \(\overline y_p\) mehrmals ableiten, in die Dgl. einsetzen, Koeffizientenvergleich, etc.

Grüße,

M.B.

der untere Teil wurde falsch übertragen:


und den Ansatz

$$\overline y_p = x^k (Q_1 \cos(x) + Q_2 \sin(x))$$

mit \(k\) ist die Vielfachheit von \(a+bi = i\) als Nullstelle des charakteristischen Polynoms, und \(Q_1 = Ax+B\) und \(Q_2 = Cx+D\) (beide Grad 1 wegen \(P_2\)).

Damit:

\(\overline y_p\) mehrmals ableiten, in die Dgl. einsetzen, Koeffizientenvergleich, etc.

Grüße,

M.B.

Den Ansatz von MB findest du auch hier in der vorletzten Zeile der Tabelle:

http://www.math.tu-dresden.de/~pfeifer/chemie/m2-ss12/tab-ans.pdf

Die habe ich dir schon einmal angegeben :-)

Danke für deine Bemühungen mir das nahe zu bringen!

Allerdimgs komme ich auch mit genauem durchlesen und viel überlegen erst zu 2/5 mit.

Können wir meine partikuläre Lösung vielleicht zusammen herleiten?

Ich komme trotz dem was du mir bisher geschrieben hast nicht drauf, denke das wenn es einmal geklickt hat es in zukunft besser Funktionieren wird.


Gruß

Danke auch an dich Wolfgang!!!

Und sorry das ich sachen frage die ihr anscheinend schon ''parallel''  beantwortet habt. Ich kann es leider noch nicht auf jede Aufgabe übertragen.


Gruß

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3Y%27+%2B+5Y+%3D+2+x+sin+(x)

gibt  als allgemeine Lösung

Y(x) = c_1 e^{-5 x/3}+5/17 x sin(x)-(24 sin(x))/289-3/17 x cos(x)+(45 cos(x))/289

an.

Scheint (ähnlich wie die noch fehlende partielle Integration in der Antwort von Grosserloewe)  für yp eine sehr lästige Arbeit zu ein :-)

Hallo Toni,

wenn Du das begreifen willst, ignoriere ich Deine Lösung erst einmal und es ist besser, den korrekten Ansatz zu diskutieren.

Wenn Du eine homogene lineare Dgl. mit konst. Koeff. (ein Sch...begriff) hast und die Theorie dazu anschaust, fällt auf, dass sie viele Parallelen zu Vektoren und lin. Gleichungssyst. der Lin. Algebra hat, denn was Du machst, ist eine Linearkombination aus verschiedenen Ableitungen und Du suchst die Lösung dazu.

Z.B.

2y'-y=0 heißt y'' ist Vielfaches von y.

3y'''+5y' heißt y''' ist Vielfaches von y'.

2y''+3y'+y = 0 heißt y ist Linearkombination aus y'' und y'.

etc.

Letztendlich ist eine Ableitung ein Vielfaches oder eine Kombination von Vielfachen anderer Ableitungen. Das kann aber nur funktionieren, wenn die Funktionen in ihren Ableitungen zyklisch sind.

Z.B.

y'' = y, d.h. die zweite Ableitung ist gleich der Funktion.

Das kann nur sein, wenn y = sin oder cos oder exp oder sinh oder cosh etc. (wobei sinh und cosh normalerweise nicht verwendet werden, das sie selbst nur exp-Funktionen sind). Analog alles andere.

Das führt dann auch auf den Standard-Ansatz mit der exp-Funkt., weil die ständig auf sich selbst abgeleitet wird.

Falls die rechte Seite nun auch eine Komb. aus diesen Funktionen ist, kann man leicht lösen, ansonsten wird es schwer. Die obige rechte Seite umfasst alle Möglichkeiten der Kombination, mit einzelnen Parametern = 0 kann man Teile davon verschwinden lassen und sie dadurch anpassen. Der Aufbau ist auch genau in dieser Form, weil dies auch der reellen Darstellung komplexer Zahlen entspricht, d.h. komplexe Lösungen als reelle dargestellt werden können.

Der Aufbau der partikulären Lösung im Ansatz entspricht genau dem gleichen, mit dem Unterschied des \(x^k\), das brauchst Du für Polynome, dort muss der Ansatz im Grad wesentlich höher gemacht werden als letztendlich gebraucht.

Z.B.

y''''-y'' = x^5 bedeutet, dass ein Polynom 4mal abgeleitet wird und trotzdem noch den Grad 5 haben soll, also muss Dein Ansatz mindestens auf x^9 gehen. Die Polynome Q1 und Q2 haben den max. Grad von P1 und P2, mit x^k wird dieser dann noch bei Bedarf erhöht.

Zu Deiner speziellen rechten Seite:

Du vergleichst den allgemeinen rechten Term mit Deiner Seite.

Du hast sin(x), also muss b=1 und c=0 im allg. Ansatz gesetzt werden. Du kast keinen Cosinus, also muss P1 = 0 gesetzt werden (auf keinen Fall das korrespondierende Q1 = 0 setzen). Du hast keine exp, die bekommst Du weg mit a=0. Vor dem sin steht bei Dir 2x, also gilt P2=2x (nicht bei Q2).

Wenn Du den Ansatz richtig angepasst hast, wird dieser so oft abgeleitet, wie links benötigt, und in die Dgl. eingesetzt. Dann machst Du einen Vergleich links mit rechts und bestimmst dadurch alle Konstanten.

Grüße,

M.B.

Hallo und erstmal vielen dank für deinen sehr umfangreichen Text.

Ok, wie du auf die Form von yp = xk (Q2 sin(x)) gekommen bist habe ich jetzt verstanden!

Nun frage ich mich allerdings wie ich daraus meine Partikuläre lösung für die Aufgabe hinbekomme.

Mit dem Lösungsansatz von yp = C1xsinx + C2x cosx + C3 sinx + C4 cosx habe ich die Aufgabe richtig gelöst bekommen und bekomme das Ergebnis raus das auch Wolframalpha ausspuckt.


Ich komme leider echt NOCH NICHT dahinter wie ich jetzt die Partikuläre Lösung finde und brauche da wohl noch Hilfe.


Gruß

das steht ganz unten.

Da Q erst einmal ein allgemeines Polynom ist, musst Du \(\overline y_p\) entsprechend oft (bei Dir reicht 1mal) ableiten und dann \(\overline y_p\) und \(\overline y'_p\) in die Dgl einsetzen. Damit kannst Du die Konstanten von Q bestimmen.

Grüße,

M.B.

aber dafür brauche ich ja erst mal ein YP das ich ableiten kann, dass ist ja mein Problem!

Das Ableiten selber, so wie das einsetzten und dann die einzelnen Konstanten bestimmen ist nicht das Problem.

Ich weiß nur nicht wie ich Yp bestimme.


Gruß

das steht auch bereits oben, lesen solltest Du schon können..

Ansatz

$$\overline y_p = x^k (Q_1 \cos(x)+Q_2 \sin(x))$$

\(k\) ist Vielfachheit von \(a+bi = i\) (a ist bei Dir 0 und b ist 1) als Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Da \(i\) keine Nullstelle hier ist, ist \(k=0\).

P1 hat den Grad 0 und P2 den Grad 1. Q1 und Q2 müssen den höheren der beiden haben, also Grad 1, und damit gilt \(Q_1 = Ax+B\) und \(Q_2 = Cx+D\).

Damit lautet Dein Ansatz:

$$\overline y_p = (Ax+B) \cos(x)+(Cx+D) \sin(x)$$

Ableiten, einsetzen, Koeffizientenvergleich.

Grüße,

M.B.


unter www . mathematik . mb - zwei . de ; Nr. 15469 befindet sich eine Musterlösung.

Grüße,

M.B.

für diesen Fall habe ich es jetzt wohl soweit verstanden. Bis auf die Sache mit dem k ist die Vielfachheit von a + bi = i


Was heißt das mit der Vielfachheit des charakteristischen Polynoms?


Gruß

\(k\) ist die Vielfachheit der Nullstelle von \(a+bi\).

Bei Dir ist \(a=0\) und \(b=1\) und damit gilt \(a+bi = i\). Also musst Du nachschauen, wie oft \(i\) als Nullstelle im charakteristischen Polynom vorkommt. Bei Dir ist das gar nicht der Fall, also ist \(k=0\), damit gilt \(x^k = x^0 = 1\).

Grüße,

M.B.

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe müsste ich z.b. bei einer doppelten Nullstelle von z.b. x=1 den ganzen partikulären Ansatz mit x2 multiplizieren?


M.f.G.

Du hast eine Dgl., die Du lösen willst. Deren rechte Seite vergleichst Du mit dem allgemeinen Ansatz \(\overline y_p\), und daraus bestimmst Du die beiden Variablen \(a\) und \(b\). Dann bildest Du die (komplexe) Zahl \(a+bi\) und schaust, wie oft diese als Nullstelle im charakteristischen Polynom vorkommt. Diese Anzahl heißt \(k\) und wird bei \(x^k\) eingesetzt.

(Und Du kannst nich sagen "doppelte Nullstelle x=1 ...mit x2 multiplizieren", da das erste x und das zweite x nicht das gleiche sind.)

Grüße,

M.B.

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3Y' + 5Y = 2 x sin (x)

Du kannst die Aufgabe durch Variation der Konstanten lösen .

Zugegeben , das Integral muß mit part. Integration gelöst werden , das ist nicht so schön.

Bild Mathematik

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unabhängig davon, ob Deine Lösung richtig ist, wünsche ich Dir viel Spaß bei der Integration wegen C(x).

Dir ist hoffentlich klar, dass Du 3 Faktoren hast, wie willst Du die eigentlich partiell integrieren? Und bildest Du Dir wirklich ein, dass das Restintegral einfacher wird?

Grüße,

M.B.

> .... viel Spaß bei der Integration wegen C(x).

Hier   findest du einen Lösungsweg.

die Frage ist nicht, ob man das rechnen kann (vor allem, wenn Du das sowieso dem Computer überlässt), sondern, dass der Ansatz völlig aufgeblasen und unnötig schwer ist.

Grüße,

M.B.

Da wasche ich meine Hände in Unschuld :-)

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