Hallo Toni,
wenn Du das begreifen willst, ignoriere ich Deine Lösung erst einmal und es ist besser, den korrekten Ansatz zu diskutieren.
Wenn Du eine homogene lineare Dgl. mit konst. Koeff. (ein Sch...begriff) hast und die Theorie dazu anschaust, fällt auf, dass sie viele Parallelen zu Vektoren und lin. Gleichungssyst. der Lin. Algebra hat, denn was Du machst, ist eine Linearkombination aus verschiedenen Ableitungen und Du suchst die Lösung dazu.
Z.B.
2y'-y=0 heißt y'' ist Vielfaches von y.
3y'''+5y' heißt y''' ist Vielfaches von y'.
2y''+3y'+y = 0 heißt y ist Linearkombination aus y'' und y'.
etc.
Letztendlich ist eine Ableitung ein Vielfaches oder eine Kombination von Vielfachen anderer Ableitungen. Das kann aber nur funktionieren, wenn die Funktionen in ihren Ableitungen zyklisch sind.
Z.B.
y'' = y, d.h. die zweite Ableitung ist gleich der Funktion.
Das kann nur sein, wenn y = sin oder cos oder exp oder sinh oder cosh etc. (wobei sinh und cosh normalerweise nicht verwendet werden, das sie selbst nur exp-Funktionen sind). Analog alles andere.
Das führt dann auch auf den Standard-Ansatz mit der exp-Funkt., weil die ständig auf sich selbst abgeleitet wird.
Falls die rechte Seite nun auch eine Komb. aus diesen Funktionen ist, kann man leicht lösen, ansonsten wird es schwer. Die obige rechte Seite umfasst alle Möglichkeiten der Kombination, mit einzelnen Parametern = 0 kann man Teile davon verschwinden lassen und sie dadurch anpassen. Der Aufbau ist auch genau in dieser Form, weil dies auch der reellen Darstellung komplexer Zahlen entspricht, d.h. komplexe Lösungen als reelle dargestellt werden können.
Der Aufbau der partikulären Lösung im Ansatz entspricht genau dem gleichen, mit dem Unterschied des \(x^k\), das brauchst Du für Polynome, dort muss der Ansatz im Grad wesentlich höher gemacht werden als letztendlich gebraucht.
Z.B.
y''''-y'' = x^5 bedeutet, dass ein Polynom 4mal abgeleitet wird und trotzdem noch den Grad 5 haben soll, also muss Dein Ansatz mindestens auf x^9 gehen. Die Polynome Q1 und Q2 haben den max. Grad von P1 und P2, mit x^k wird dieser dann noch bei Bedarf erhöht.
Zu Deiner speziellen rechten Seite:
Du vergleichst den allgemeinen rechten Term mit Deiner Seite.
Du hast sin(x), also muss b=1 und c=0 im allg. Ansatz gesetzt werden. Du kast keinen Cosinus, also muss P1 = 0 gesetzt werden (auf keinen Fall das korrespondierende Q1 = 0 setzen). Du hast keine exp, die bekommst Du weg mit a=0. Vor dem sin steht bei Dir 2x, also gilt P2=2x (nicht bei Q2).
Wenn Du den Ansatz richtig angepasst hast, wird dieser so oft abgeleitet, wie links benötigt, und in die Dgl. eingesetzt. Dann machst Du einen Vergleich links mit rechts und bestimmst dadurch alle Konstanten.
Grüße,
M.B.
