Äquivalenzumformung von Gleichung 60+4x=30

Question

Warum stellt folgendes Beispiel keine Äquivalenzumformung dar? Begründen Sie.

60x+4=30

⇔(60x+4)²=30²

Warum stellt folgendes Beispiel eine Äquivalenzumformung dar? Was ist der Unterschied zum vorherigen Beispiel?

√(60+4x) +2√x = 30

⇔(√(60+4x) +2√x)²=30²

Answer 1

Warum stellt folgendes Beispiel keine Äquivalenzumformung dar? Begründen Sie.

60x+4=30

⇔(60x+4)²=30² 

Hier kann in der Klammer 60x+4 = 30 oder 60x + 4 = -30 stehen. D.h. die zweite Gleichung hat 2 Lösungen, die erste Gleichung nur eine. (Kannst du mit Nachrechnen prüfen). 

Warum stellt folgendes Beispiel eine Äquivalenzumformung dar? Was ist der Unterschied zum vorherigen Beispiel?

√(60+4x) +2√x = 30

⇔(√(60+4x) +2√x)²=30²

Hier kommt in der Klammer nur der Wert + 30 in Frage, da Wurzeln nie negativ sind. Wenn man 2 pos. Zahlen addiert, kann auch nichts Negatives rauskommen. 

Comments

Aber was wäre denn wenn im unteren Beispiel ein Minus zwischen den Wurzeln stehen würde?

Wäre das immer noch eine ÄquivalenzUmformung?

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Vermutlich nicht. Das kannst du eigentlich nur prüfen, indem du die Lösungsmengen beider Gleichungen bestimmst und vergleichst.

Answer 2

Bei der ersten gibt es nur die Lösung x= 13/30.

nach der Umformung aber auch  x= -17/30 ,

weil das die Lösung von 60x + 4 = -30 ist

also nicht gleiche Lösungsmengen also

nicht äquivalent.


Beim 2. Beispiel hat man die Summe zweier Wurzeln,das ist nie negativ.

Answer 3

Hi Simon,

Wie kommst Du darauf, dass ersteres äquivalent sei?

Vor dem quadrieren hast Du nur eine Lösung. Danach zwei. Sind also nicht äquivalent.

Grüße

Comments

Wie kommst Du darauf, dass ersteres äquivalent sei?

Das war so in meinem Skript abgebildet ;)