Beweisen, dass (q-1)∑ q^k =q^{n+1} -1

Question

Habe mal eine frage und zwar habe ich die Aufgabe

Zeigen Sie, dass für n ∈ N und beliebige Zahlen q gilt:

        n
(q-1)∑ q^k = qⁿ⁺¹ -1
      k=0

Wenn ich das jetzt umstelle also die (q-1) nach vorne hole dann habe ich doch:

  ∑ q^k * (q-1) = ∑ q^k+1  - q^k

Richtig?

Wie müsste ich dann bei der Vollständigen Induktion erweitern?

mit qⁿ⁺¹⁺¹ - qⁿ⁺¹?

EDIT: Einige Q durch q ersetzt. 

Answer 1

Mach doch die Induktion mit der gegebenen Form:

Dann hast du beim Ind. schritt zu zeigen:


      n +1
(q-1)∑ q^k = qⁿ⁺² -1.       
         k=0


und bei der Summe machst du daraus  : .           
..............n
(q-1)  (  ∑ q^k      +  qⁿ⁺¹  )   
            k=0

=  .......      =    qⁿ⁺² -1

Comments

wäre dann

 ∑ q^k *q -∑ q^k + qⁿ⁺¹⁺¹ -qⁿ⁺¹  ?

Sry stehe gerade richtig auf dem schlauch :D

Answer 2

hier ist keine Induktion notwendig, es reicht elementare Rechenregeln zu benutzen:

$$ (q-1) \cdot \sum_{k=0}^n q^k = \sum_{k=1}^{n+1}q^k - \sum_{k=0}^n q^k = \ldots = q^{n+1} - 1  $$

Gruß,

Comments

bei der summe mit n+1
fehlt da nicht noch das (q-1)

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Nein, da beim ersten Schritt ausmultipliziert wurde.

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das heißt ich arbeite also mit der Indexverschiebung?

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Wenn du es so willst, dann ja.

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Ach quatsch habe viel zu kompleziert gedacht habe jetzt das raus:

         n

 (q-1)∑ qk = qn+1 -1 = (q-1)(1+q+q²+q³+...+qⁿ) =

       k=0

= q(1+q+q²+q³+...+qⁿ) -1(1+q+q²+q³+...+qⁿ) =

   q + q² + q³ +...+ qⁿ + qⁿ⁺¹ -1-q - q² - q³-... - qⁿ = qⁿ⁺¹-1

da sich ja die Summanden q, q², ... , qⁿ aufheben.

Übrig bleibt die -1 und qⁿ⁺¹.

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Jo genau, dies entspricht meiner Antwort ohne Verwendung der Summennotation. Der fehlende Zwischenschritt:

$$ \begin{aligned}(q-1) \cdot \sum_{k=0}^n q^k &= \color{green}{\sum_{k=1}^{n+1}q^k} - \color{orange}{\sum_{k=0}^n q^k} \\ &= \color{green}{q^{n+1}+ \sum_{k=1}^nq^k} - \color{orange}{\left(\sum_{k=1}^nq^k+1 \right) }= q^{n+1} - 1\end{aligned}$$