Lineare Unabhängigkeit von Vektoren u-v und u+v beweisen.

Question

Also zu meiner Aufgabenstellung bzw. die Frage ist wie ich allgemein an solche Fragestellungen herangehen kann:
Vorab,  x, y, u, v sollen Vektoren sein hab das hier mit der Vektoren Schreibweise noch nicht raus

1. Aufgabe: Sei V ein ℝ-Vektorraum und u, v ∈ V seien linear unabhängig. Es sei x = u + v und y = u − v. Zeigen Sie, dass dann x, y linear unabhängig sind.
Mein Ansatz: Versuchen das Gegenteil zu "beweisen", sodass ein Widerspruch kommt. Wenn beide Vektoren linear abhängig wären würde es eine Zahl λ geben, sodass gilt: x*λ = y. Diese Zahl gibt es natürlich nicht, wie beweise ich das aber? 

Vielen Dank und Pyrob⃗b⃗

Answer 1

x*λ = y       | k statt lambda, k≠0

(u+v)*k = u -v 

k*u + k*v = u - v

k*u - u = - k*v - v

(k-1)u = (-k-1)v         | k≠ 1

u = (-k-1)/(k-1) v               d.h. u und v lin. abh. (ausser für k=1 oder k=-1) 

Das wäre der gewünschte Widerspruch zur Voraussetzung. 

Die Fälle k=1 und k= -1 also noch separat ansehen und zum Widerspruch führen. 

Comments

Noch ein bisschen früh am Morgen (für Studenten :p) , also entschuldige, wenn ich triviale Sachverhalte nicht sofort verstehe. Ich danke dir schonmal für deine Antwort und: u = (-k-1)/(k-1) v bedeutet ja, dass sie eben doch linear abhängig sind oder nicht? Das würde ja genau das Gegenteil bedeuten von dem was ich beweisen wollte, bzw. Ich erkenne den Widerspruch darin nicht. Ich meinte mit Widerspruch nicht, dass es der lin. Unabhängigkeit widerspricht sondern ein Widerspruch in der Aussage selbst entsteht, sodass ich sagen kann, dass eben jene Aussage (x=k*y) nicht korrekt ist. Wenn du mir das nochmal erklären könntest, wieso da (k)ein Widerspruch ist wäre das super. 

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indirekter Beweis:

Annahme "die Behauptung ist falsch "

auf einen Widerspruch zur Voraussetzung führen.

Damit ist bewiesen, dass aus der Voraussetzung das Gegenteil de Annahme stimmt.

Wie gesagt: k=1 und k=-1 musst du noch separat anschauen.

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Ok Dankeschön, dachte da gibt es eine "simple"  Methode sind nur 2 Punkte in der Altklausur.

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Gibt ja auch nicht mehr wirklich viel zu tun mit k=1 und k=-1 ;)

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Jetzt check ich es wirklich, reicht es nicht aus zu sagen, dass es keine Faktor geben darf z. B.  u =k*v, und ich substituiere das (k-1) zu κ und schön habe ich das Problem für +-1 gelöst? Oder darf ich es mir nicht so leicht machen?

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Du kannst direkt vorgehen und rechnen

x+y = .... = 2u ==> u = 0.5(x+y)

x - y = .... = 2v ==> v = 0.5(x-y)

Da die beiden lin. unabh. Vektoren u und v durch x und y ausgedrückt werden können, müssen x und y auch lin. unabh. sein. (Voraussetzung für diese Argumentation: Du hast den entsprechenden Hintergrund bewiesen im Skript).

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"Oder darf ich es mir nicht so leicht machen? " 

Du darfst nicht durch 0 teilen und x und y dürfen keine Nullvektoren sein. Vorausgesetzt ist ja, dass u und v keine Nullvektoren sind. 

Setze einfach k=1 und k=-1 ein und schau, was passiert. 

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Das sieht schon eher nach meiner Professorin aus, aber der Weg oben ist allgemein gültig also mach ich es dann lieber so. :)

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Naja wenn ich k = 1 setze würde ich durch null teilen -> geht nicht und wenn ich k=-1 setze würde ich mit Null multiplizieren - > Nullvektor würde raus kommen, geht also auch nicht.  Genau das wollte ich noch fragen, wenn mir gegeben ist dass zwei Vektoren linear unabhängig sind, darf ich davon ausgehen, dass weder der eine noch der andere Vektor der Nullvektor sind? (wahrscheinlich Ultratriviale Frage)

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Fall k=1

x = y

u+v = u-v        | -u - v

0 = 2v

0 = v . v ist der Nullvektor. Widerspricht der Voraussetzung, dass u und v lin. unabh.

Fall k=-1

x = -y

u+v = -u+v    | + u - v

2u = 0

u = 0 . u ist der Nullvektor. Widerspricht der Voraussetzung, dass u und v lin. unabh.

über die Vektoren Pfeile ergänzen. (Auch über den Nullen, die in diesem Kommentar Nullvektoren sind)

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"dass zwei Vektoren linear unabhängig sind, darf ich davon ausgehen, dass weder der eine noch der andere Vektor der Nullvektor sind? "

Ja. (solltet ihr aber irgendwann mal bewiesen haben). 

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Danke für deine ganze Arbeit, hast du echt gut erklärt :)

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Bitte. Gern geschehen!

Man kann übrigens auch geometrisch argumentieren.

Sind u und v lin. unabh.,  so spannen sie ein Parallelogramm (echtes Parallelogramm mit Fläche ≠0) auf.

Die Diagonalenvektoren dieses Parallegramms sind u+v und u-v. Die können nun aus geometrischen Gründen (Fläche des Parallelogramms wäre dann 0) weder parallel zueinander noch Nullvektoren sein.