Vektoren. Lineare Unabhängigkeit von f^{-1}(x) und x + f^{-1}(y) beweisen

Question

Da man nur eine Frage pro Post stellen darf:

Aufgabe: Es seien x, y ∈ ℝⁿ, und es sei f:ℝ^n⇒ℝⁿ linear und bijektiv. Es sei bekannt, dass die Vektoren x und f(x)+y linear unabhängig sind.Zeigen/Begrunden Sie, dass dann f^-1(x) und x + f^-1(y) linear unabhängig sind.

Mein Ansatz: Ich habe keine Ahnung wie ich das erklären soll. Da beide Vektoren linear und bijektiv sind, haben auch beide Vektoren ein Inverse(ist das korrekt?) und jetzt? Ich möchte danach verstehen wie ich das allgemein auf solche Probleme anwenden kann. Also wäre eine kleine Erklärung ganz hilfreich. 

Vielen Dank und Pyro

Answer 1

"Da beide Vektoren linear und bijektiv sind, haben auch beide Vektoren ein Inverse(ist das korrekt?)"

Ja, das stimmt.

Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich jeder Vektor aus ℝⁿ aus ihnen linear kombinieren lässt, also hier insbesondere x+y.

Comments

Ja klingt einleuchtend, die beiden Vektoren bilden dann eine Basis für ℝⁿ und wie beweise ich jetzt, dass sie die Basis für alle anderen Vektoren sind?

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finde Zahlen r und s, sodass r · (f^-1(x)) + s· (x + f^-1(y)) = x+y

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Ein paar Anmerkungen:

"Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich jeder Vektor aus ℝⁿ aus ihnen linear kombinieren lässt, also hier insbesondere x+y."

Das wäre nur für n = 2 richtig.

Des Weiteren ist die Abbildung \(f\) linear und bijektiv und nicht die Vektoren.

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> "Da beide Vektoren linear und bijektiv sind, haben auch beide Vektoren ein Inverse(ist das korrekt?)"

So kann man das nicht sagen. Nicht die beiden Vektoren x und y sind linear und bijektiv sondern die Abbildung f. Letztere besitzt deshalb eine Umkehrabbildung f^-1, die dann ebenfalls linear ist und es gilt Bild(f) = ℝⁿ.

 

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Ok, da die Abbildung f linear und bijektiv ist gibt es auch eine Umkehrabbildung.

x und f(x)+y sind linear unabhängig

Gibt es einen Satz der besagt: Wenn zwei Vektoren linear unabhängig sind, sind auch deren Inverse linear unabhängig?

Weil f(x)^-1 und x+f(y)^-1 ist ja nur die komplette inversion des ganzen