Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum, \( n \in \mathbb{N} \) eine beliebige natürliche Zahl, \( v_1, \ldots, v_n \) linear unabhängige Vektoren in \( V \). Seien \( \alpha_i \in \mathbb{R} \), \( 1 \leq i \leq n \) beliebig, und \( \omega := \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i \).
Zeige: Die Vektoren \( x_1, \ldots, x_n \), die definiert sind durch \( x_i := v_i - \omega \), sind genau dann linear abhängig, wenn gilt
\( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1. \)
Lösung:
1.
Definition der Vektoren \( x_i \):
Wir definieren \( x_i \) wie in der Aufgabe gegeben:
\(
x_i := v_i - \omega \quad \text{für} \; 1 \leq i \leq n.
\)
\(\omega\) ist definiert als:
\(
\omega := \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i.
\)
Setzen wir dies in die Definition von \( x_i \) ein:
\(
x_i = v_i - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i.
\)
2.
Lineare Abhängigkeit von \( x_i \):
Die Vektoren \( x_1, \ldots, x_n \) sind genau dann linear abhängig, wenn es Skalare \( \beta_1, \ldots, \beta_n \) gibt, die nicht alle Null sind, sodass:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i x_i = 0.
\)
Setzen wir die Definition von \( x_i \) in die obige Gleichung ein:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i (v_i - \omega) = 0.
\)
Dies ergibt:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{i=1}^{n} \beta_i \omega = 0.
\)
Da \(\omega\) konstant ist und aus der Summation herausgezogen werden kann, schreiben wir:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \omega \sum_{i=1}^{n} \beta_i = 0.
\)
3.
Summieren der beiden Summen:
Betrachte den Ausdruck genauer:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{i=1}^{n} \beta_i \sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j = 0.
\)
Ordnen wir die Terme so, dass \( v_i \) als gemeinsame Faktoren sichtbar werden:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{j=1}^{n} \alpha_j \left( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_j \right)= 0.
\)
Ersetzen wir \( \alpha_j \sum_{i=1}^{n} \beta_i \) in die Gleichung ein:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \right) \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i = 0.
\)
4.
Faktor zusammen:
Wenn \( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1 \), bleibt die Gleichung:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i = 0 \implies 0 = 0.
\)
Dies zeigt, dass die linke Seite der Gleichung gleich Null ist, wenn die Bedingung \( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1 \) erfüllt ist, unabhängig von den Werten \(\beta_i\).
5.
Gegenteiligen Fall:
Wenn \( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 1 \), schreiben wir:
\(
\sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i (1 - \sum_{j=1}^n \alpha_j) = 0.
\)
Da \( v_i \) linear unabhängig sind und \(1 - \sum_{j=1}^n \alpha_j\) eine Konstante (\(\neq 0\)) ist, muss \(\beta_i = 0\) für alle \(i\). Das bedeutet, dass die Vektoren \(x_i\) linear unabhängig sind.
Somit haben wir gezeigt, dass die Vektoren \(x_1, \ldots, x_n\) genau dann linear abhängig sind, wenn:
\(
\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1.
\)
