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Aufgabe:

Sei V ein ℝ-Vektorraum, n∈ℕ eine beliebige natürliche Zahl, v1,...,vn linear unabhängige Vektoren in V. Sieen αi ∈ℝ, 1≤i≤n beliebig und ω:= ∑(i=1 bis n)αivi

Zeige: Die Vektoren x1,...xn, die definiert sind durch xi := vi -ω, sind genau dann linear abhängig, wenn gilt

∑(i=1 bis n)αi=1

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Gemäss Text sollst du wohl die lineare Abhängigkeit (nicht Unabhängigkeit) zeigen.

Oder hast du da was falsch abgeschrieben?

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Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe:

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum, \( n \in \mathbb{N} \) eine beliebige natürliche Zahl, \( v_1, \ldots, v_n \) linear unabhängige Vektoren in \( V \). Seien \( \alpha_i \in \mathbb{R} \), \( 1 \leq i \leq n \) beliebig, und \( \omega := \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i \).

Zeige: Die Vektoren \( x_1, \ldots, x_n \), die definiert sind durch \( x_i := v_i - \omega \), sind genau dann linear abhängig, wenn gilt

\( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1. \)

Lösung:

1. Definition der Vektoren \( x_i \):

Wir definieren \( x_i \) wie in der Aufgabe gegeben:
\( x_i := v_i - \omega \quad \text{für} \; 1 \leq i \leq n. \)

\(\omega\) ist definiert als:
\( \omega := \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i. \)

Setzen wir dies in die Definition von \( x_i \) ein:
\( x_i = v_i - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i. \)

2. Lineare Abhängigkeit von \( x_i \):

Die Vektoren \( x_1, \ldots, x_n \) sind genau dann linear abhängig, wenn es Skalare \( \beta_1, \ldots, \beta_n \) gibt, die nicht alle Null sind, sodass:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i x_i = 0. \)

Setzen wir die Definition von \( x_i \) in die obige Gleichung ein:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i (v_i - \omega) = 0. \)

Dies ergibt:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{i=1}^{n} \beta_i \omega = 0. \)

Da \(\omega\) konstant ist und aus der Summation herausgezogen werden kann, schreiben wir:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \omega \sum_{i=1}^{n} \beta_i = 0. \)

3. Summieren der beiden Summen:

Betrachte den Ausdruck genauer:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{i=1}^{n} \beta_i \sum_{j=1}^{n} \alpha_j v_j = 0. \)

Ordnen wir die Terme so, dass \( v_i \) als gemeinsame Faktoren sichtbar werden:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{j=1}^{n} \alpha_j \left( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_j \right)= 0. \)

Ersetzen wir \( \alpha_j \sum_{i=1}^{n} \beta_i \) in die Gleichung ein:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \right) \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i = 0. \)

4. Faktor zusammen:

Wenn \( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1 \), bleibt die Gleichung:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i - \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i = 0 \implies 0 = 0. \)

Dies zeigt, dass die linke Seite der Gleichung gleich Null ist, wenn die Bedingung \( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1 \) erfüllt ist, unabhängig von den Werten \(\beta_i\).

5. Gegenteiligen Fall:

Wenn \( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \neq 1 \), schreiben wir:
\( \sum_{i=1}^{n} \beta_i v_i (1 - \sum_{j=1}^n \alpha_j) = 0. \)

Da \( v_i \) linear unabhängig sind und \(1 - \sum_{j=1}^n \alpha_j\) eine Konstante (\(\neq 0\)) ist, muss \(\beta_i = 0\) für alle \(i\). Das bedeutet, dass die Vektoren \(x_i\) linear unabhängig sind.

Somit haben wir gezeigt, dass die Vektoren \(x_1, \ldots, x_n\) genau dann linear abhängig sind, wenn:
\( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1. \)
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