Analytische Geometrie: Dreieck/Quadrat im Raum mit Vektoren lösen

Question

Die Punkte A (1/1/2), B (1/6/2) und C (4/6/6) ergeben ein Dreieck im Koordinaten System.

Ein weiterer Punkt D kann so gewählt werden, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.

-> weil das Dreieck rechtwinklig ist und beide Katheten gleich lang sind.

Punkt D habe ich jetzt logischerweise mit (4/1/6) bestimmt.

Wie kann ich das rechnerisch lösen?

Danke schonmal :-)

Answer 1

Da du "Analytische Geometrie" schreibst, nehme ich an, dass du von Vektoren schonmal gehört hast.

 

Ich bestimme erstmal die drei Verbindungsvektoren a = BC, b = AC, c = AB, wobei ich hier in Ermangelung eines Vektorpfeils Vektoren als fette Größen schreibe (so wie viele Bücher das auch machen.)

 

Also:

a = (4, 6, 6) - (1, 6, 2) = (3, 0, 4)

b = (4, 6, 6) - (1, 1, 2) = (3, 5, 4)

c = (1, 6, 2) - (1, 1, 2) = (0, 5, 0)

Warum können die drei Punkte zu einem Quadrat ergänzt werden?
Weil zwei der beiden Seiten gleich lang sind und im rechten Winkel aufeinander stehen!
Das zeigt man mit Vektoren folgendermaßen:
|a|² = 3² + 0² + 4² = 9+16 = 25 = 5² = |c|²

Also sind a und c gleich lang.

Außerdem gilt: a*c = 3*0 + 0*5 + 4*0 = 0

Also stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander!

Sowohl a als auch c haben einen ihrer Endpunkte in B. Verschiebt man einen der beiden Vektoren also parallel zum Endpunkt des anderen, erhält man den vierten Punkt.

Verschiebt man z.B. a parallel zum Endpunkt von c, also zu A, dann erhält man für den Punkt D:
D = A+a = (1, 1, 2) + ( 3, 0, 4) = (4, 1, 6)

Was genau der von dir bestimmte Punkt ist!

Noch ein kleines Bild dazu:

 

Das ist das Dreieck (leider nur in 2D, aber ich hoffe das reicht, um sich das vorzustellen.)
Um jetzt den Punkt D zu finden, musst du den Pfeil, der von B zu C zeigt einfach an den Punkt A ranhängen, was mathematisch durch die Addition von A und a realisiert wird.