Logarithmusgesetz ln(a^n)=n*ln(a)

Question

es gilt ja des Gestz

ln(aⁿ)=n*ln(a)      (Ich habe jetzt nur als Beispiel den natürlichen Log. genommen)

Beispiel:

ln(x²)=2*ln(x)

Es gilt ja D=ℝ\(0)

Aber nachdem man die 2 vor den ln zieht, wäre ja D nur noch ℝ +.Deshalb schreibt man ja auch 2*ln|x|

Anderes Beispiel:

ln(x³)=3*ln(x)

Hier gilt sowohl vor als auch der Regelanwendung D=ℝ +. Und hier darf man ja auch nicht 3*ln|x| schreiben, sonst würde man ja den Definitionsbereich erweitern.

Bei x² weiter oben muss man also x zum Betrag im ln schreiben und bei einem ungeraden Exponenten wie 3 nicht. Sehe ich das richtig? Wenn ja wieso sagt man dann ln(aⁿ⁾=n*ln(a) obwohl ja nicht geklärt ist ob n gerade oder ungerade ist.

Answer 1

Hallo Simon,

die Formel  ln(aⁿ) = n * ln(a)  gilt nur für a>0 , weil ln(a) sonst nicht definiert ist. Deshalb spielt es keine Rolle, ob n gerade oder ungerade ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Für die Funktion f(x)=ln(x²) gilt: D=ℝ\(0)

Ich kann also alle reellen Zahlen außer 0 einsetzen.

Wenn ich nun aber die 2 vorziehe, also f(x)=2*ln(x) dürfte ich ja ohne Betragsstrichte nur noch Zahlen, die größer als 0 sind, einsetzen.

Ich muss doch hier Betragsstrichte setzen, ansonsten würde ich doch den Definitionsbereich verschwinden lassen oder nicht?

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Ja, Betragstrische.   Ist wegen x² = |x|² auch kein Problem.:

ln(x²) = ln(|x|²) = 2 * ln(|x|)

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Alles klar.

Und bei der Funktion f(x)=ln(x³) = 3*ln(x) darf ich ja keine Beträge setzen. Ich habe ja jetzt bei beiden Funktionen f(x)= ln(x²) und f(x)=ln(x³) das Logarithmusgesetzt angewandt, aber nur bei f(x)=ln(x²) x in Betrag gesetzt. Wie kann man das erklären? Wann muss ich bei der Anwendung des Logarithmusgesetzes Beträge schreiben und wann nicht?

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Das sagte ich schon:  x² = |x|²  ;  x³ ≠ |x|³  ( x³ = |x|³ nur für x≥0)

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Vielen Dank  ;)

Eine Bitte noch. Kannst du hier https://www.mathelounge.de/381113/dreiecksungleichung-mit-minus-herleitung-von-a-b-%E2%89%A5-a-b#c381155 meinen Kommentar, den ich vor kurzem verfasst habe, mal anschauen und eventuell beantworten? Ich weiß nicht, ob der Antwortgeber heute noch online kommt und ich bräuchte eigentlich heute noch eine Rückmeldung. Natürlich nur wenn du Lust hast :)

Answer 2

Man legt vorher fest, dass \(a\gt 0\) gilt.