cauchy schwarzsche ungleichung |a*b|≤|a|*|b|

Question

 |a*b|≤|a|*|b|

Handelt es sich bei a und b um Vektoren? Ich habe es bei meinem Lehrbuch unter dem Kapital Vektorrechnung gesehen. Deswegen nehme ich mal an es handelt sich um Vektoren.

Vielleicht kann mir jemand diese Ungleichung erklären. Auf der linken Seite steht doch ein Skalarprodukt und auf der rechten Seite das Produkt aus der Länge der Vektoren a und b. Ich verstehe den Zusammenhang da irgendwie nicht.

Answer 1

Ja, die Ungleichung gilt (lässt sich übrigens, wenn man weiß wie, in einer Zeile ganz elementar beweisen) in jedem Skalarproduktraum, insbesondere also für den R^n mit Standardskalarprodukt, was in deinem Fall wohl gemeint ist.

Wo genau ist das Problem mit der Aussage? Links steht eine reelle Zahl und rechts steht eine.

Vielleicht hilft es dir, das Skalarprodukt zweier Vektoren im R^n anschaulich zu deuten? Da ist das nämlich sowas wie die Projektion des einen Vektors auf den anderen multipliziert mit dessen Länge, insofern ist es auch klar, dass besagte Ungleichung gilt.

Comments

Das heißt wenn der Winkel 0 Grad(cos liefert mir den Wert 1) ist herrscht auf beiden Seiten der Ungleichung Gleichheit. Sehe ich das richtig? 

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Das siehst du genau richtig :-)

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Prima :) 

Wieso schreibt man dann auf der linken Seite nicht gleich Betrag a*Betrag b* cos (winkel) anstelle von a*b. Daß wäre doch viel offensichtlicher ?

Ich schreibe mit dem Handy . Deswegen die komische DarStellung oben ;)

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Die C-S-Ungleichung gilt in jedem euklidischen Vektorraum über ℝ ("Skalarproduktraum" ,A1). Man kann zwar in jedem dieser Räume "Winkel" definieren, der Begriff kann dann aber - je nach der Definition des Skalarprodukts - sehr abstrakt sein.