Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: Weshalb wird das Alpha konjugiert?

Question

Ich verstehe einen Teil zum Beweis der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung nicht:

Zu zeigen ist:

$$ \forall ~ x,y \in V: ~ \langle x,y \rangle \cdot \overline{\langle x,y\rangle} \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$$

Für x=0 oder y=0 ist diese Aussage trivial.

Betrachte also x,y∈V\{0}, mit α∈K. Dann folgt:

$$ \langle x-\alpha\cdot y,x-\alpha\cdot y \rangle = \langle x,x-\alpha\cdot y \rangle - \alpha \cdot \langle y, x-\alpha\cdot y\rangle\\ = \langle x,x\rangle -\overline{\alpha} \cdot \langle x,y \rangle -\alpha\cdot \langle y,x \rangle+\alpha \cdot \overline{\alpha} \cdot \langle y,y \rangle$$

Weshalb wird hier das Alpha konjugiert?

Answer 1

Ok, habs doch selbst verstehen können. Es liegt liegt einfach daran, dass das Skalarprodukt ⟨.,.⟩ in der zweiten Komponente konjugiert linear ist, d.h, $$ \forall \ \alpha,\beta\in \mathbb{K}, \ \ x,y,y'\in V: \ \ \langle x,\alpha\cdot y+\beta\cdot y' \rangle = \overline{\alpha}\cdot \langle x,y\rangle+\overline{\beta}\cdot \langle x,y'\rangle .$$