Zeigen, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert ist

Question

Im Folgenden sei n ∈ N und Z_n bezeichne die Menge der Äquivalenzklassen von Z
bezüglich der Relation

$$ k \sim l  ⇔ n | k-l $$ $$\forall k,l, ∈ { Z } $$

Wir schreiben  k ≡ l mod n wenn $$ k \sim l   $$ und bezeichnen mit [k] die Äquivalenzklasse von k bezüglich n.

Definieren Sie eine Addition und eine Multiplikation auf Z_n durch

[k] + [l] := [k+l] und [k] * [l] := [k*l] für alle [k], [l] ∈ Z_n


Zeigen Sie, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind und dass Z_n mit
diesen Verknüpfungen ein Ring ist.

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Mir ist klar, wie ein Ring definiert ist:
R+ muss abelsch sein
Distributivgesetz muss gelten
Assoziativität muss gelten
Kommutativität muss gelten

Wie zeigt man das jetzt Formal? Es steht ja schon in mehr oder weniger in der Definition der Aufgabe

Ich danke Euch schon mal

Answer 1

Sei k' ∈ [k]. Dann ist [k'] = [k]. Also sollte auch [k' + l] = [k + l] sein. Das dem so ist, ist aber nicht offensichtlich und musst gezeigt werden. Ähnliches gilt für die Multiplikation.

Kommutativität der Addition kannst du so zeigen: Wegen Kommutativität der Addition in ℤ ist

        k + l = l + k,

also ist

        [k] + [l] = [k+l] = [l+k] = [l] + [k].