Tangentialvektor an eine Kurve bestimmen: x^4 + y^4 + z^4 = 1

Question

Hätte jemand eine Idee zur folgenden Aufgabe:

a) Durch die Gleichung x^4 + y^4 + z^4 = 1 ist eine geschlossene Fläche im ℝ³ definiert. Geben Sie einen Normalvektor an die Fläche in einem beliebigen Punkt (x,y,z) auf der Fläche an.

b) Leiten Sie ein Gleichungssystem her, dessen Lösung diejenigen Punket der auf unter a) definierten Fläche liefert, die vom Koordinatenursprung (0,0,0) maximalen Abstand haben. (Sie bruchen dieses Gleichungssystem nicht lösen.)

c) Sei die Kurve, die als Schnitt der Fläche aus a) mit der durch die Gleichung x=y^3 definierten Fläche entsteht. Geben Sie den Tangentialvektor an C in dem Kurvenpunkt (x,y,z) = (0,0,1) an.

Comments

Hätte jemand eine Idee zur folgenden Aufgabe:

Geg.:f(x,y)=x*y*(1-x^2-y^2)=z

Ges.: Tangentialvektor an die Kurve an der Stelle (1,0,0)

P.S: Wäre dankbar für jede Hilfestellung

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z = f(x, y) stellt eine Flaeche im Raum dar, keine Kurve. Entsprechend gibt es auch nicht den Tangentialvektor. Eine Tangentialebene kannst Du bestimmen.

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Da ist von einer Kurve die Rede, die als Schnitt von zwei Flaechen erst entsteht.

Answer 1

a)   Ein Normalvektor ist der Gradient

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Tangentialebene#Tangentialebene_an_eine_implizit_gegebene_Fl.C3.A4che

also hier  ( 4x^3 ; 4y^3 ; 4z^3 )   [ als Spalte geschrieben]

b)   Abstand des Punktes (x,y,z) vom Ursprung ist     a(x,y,z) =  ( x^2 + y^2 + z^2 ) ^1/2   

unter der Nebenbedingung    x^4 + y^4 + z^4  = 1   also  z^2 =  ( 1 - x^4 - y^4 ) ^1/2  und damit    a(x,y) =   ( x^2 + y^2 +  ( 1 - x^4 - y^4 ) ^1/2    ) ^1/2      

und jetzt beide partielle Ableitungen = 0 setzen.

Comments

danke mathef für deine hilfe ,wüsstest du aber wie man beim punkt c) vorgehen könnte?

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Hab so recht keine Idee, vielleicht hilft ja

https://www.mathelounge.de/376789/tangentialvektor-der-losungskurve-x-2-y-2-2-t-x-3-y-3-t

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Die Tangente an die Schnittkurve im gegebenen Punkt liegt in beiden Tangentialebenen.

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Mit diesem Tipp geht es dann ja wohl so:Gradient der ersten Fläche ist ( 4x^3 ; 4y^3 ; 4z^3 ) , also in dem Punkt

gegebenen Punkt  ( 0 ; 0 ; 4 ) .

Der andere ( 1 ; -3y^2 ; 0 ) also in dem Punkt ( 1 ; 0 ; 0) .

Da die Tangente in beiden Tangentialebenen liegt, also auf beiden

Normalvektoren senkrecht steht, hat der Tangentialvektor

 die Richtung  ( 0 ; 1 ; 0 ) .

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verstehe noch nicht ganz wie du auf Tangentialvektor (0;1;0) kommst ?

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Der muss mit beiden Normalvektoren das Skalarprodukt 0 haben.

Wenn also (a,b,c) * ( 1 ; 0 ; 0) .=0 ist, dann schon mal  a=0

und außerdem   (a,b,c) * ( 0 ; 0 ; 4) .=0    also c=0


und damit ist b beliebig ( ≠ 0 ) also z.B.  b=1