Wie kann ich bei dieser Aufgabe mit dem gegebenen Sattelpunkt die Funktion bestimmen?

Question

Wie kann ich bei dieser Aufgabe mit dem gegebenen Sattelpunkt (und dem anderen Punkten) die Funktion bestimmen?

Answer 1

Du hast eine Funktion der Form \( f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \).

Die Punkte (0;6), (2;3) und (4:0) liegen darauf.

(2;3) ist Sattelpunkt, hat eine waagr. Tangente (steht auch im Text); außerdem ist er Wendepunkt und Symmetriepunkt.

Überlege, was das für \( f \), \( f' \) und \( f'' \) bedeutet.

Grüße,

M.B.

Answer 2

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f (0)=6=d

I: f (4)=64a+16b+4c+6=0

f'(x)=3ax^2+2bx+c

II: f'(2)=12a+4b+c=0

III: f (2)=8a+4b+2c+6=3

Drei gleichungen, 3 unbekannte, kann man auflösen.

Comments

I: f (4)=64a+16b+4c=-6

II: f'(2)=12a+4b+c=0

III: f (2)=8a+4b+2c=-3

II': -48a-16b-4c=0

III': -32a-16b-8c=12

I+II': 16a=-6

a=-3/8

I+III': 32a-4c=6

a einsetzen

-12-4c=6

c=-4,5

Einsetzen in II

12*-3/8+4b-4,5=0

b=2,25

f (x)=-3/8*x^3+2,25*x^2-4,5*x+6

---

b) Fläche bestimmen

A=₀∫⁴ -(3/8x^3+2,25x^2-4,5x+6) dx

=[-3/32 x^4 + 0,75x^3 -2,25x^2 + 6x]₀⁴ 

= [-3/32*256+0,75*64-2,25*16+24]-[0]= 12

Answer 3

a)

Sattelpunkt bei P\((2|3)\) verschieben um \(3\) nach ↓: P'\((2|0)\) Hier ist nun eine Dreifachnullstelle:

\(f(x)=a(x-2)^3\)

Y\((0|6)\)  ↓: Y´\((0|3)\):

\(f(0)=a(0-2)^3=-8a=3\)

\(a=-\frac{3}{8} \):

\(f(x)=-\frac{3}{8}(x-2)^3\)

↑:  \(p(x)=-\frac{3}{8}(x-2)^3+3\)

b)

Bestimmung der Fläche:

\(A= \int\limits_{0}^{6}(-\frac{3}{8}[(x-2)^3+3]dx =-\frac{3}{8} \int\limits_{0}^{6}[(x-2)^3-3]\)

Substitution:

\(x-2=u\)    \(x=u+2\)  \(dx=du\)

Veränderung der Grenzen:

untere Grenze:  \(0-2=u\)→  \(u=-2\)

obere Grenze:  \(6-2=u\)→\(u=4\)

\(A =-\frac{3}{8} \int\limits_{-2}^{4}[u^3-3]du=[-\frac{3}{8}( \frac{1}{4}u^4 -3u) ]_{-2}^{4}\)

Nun noch ausrechnen.

Resubstitution ist nun nicht mehr nötig, weil die Integralgrenzen angepasst sind.