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Wie kann ich bei dieser Aufgabe mit dem gegebenen Sattelpunkt (und dem anderen Punkten) die Funktion bestimmen?

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Du hast eine Funktion der Form \( f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \).

Die Punkte (0;6), (2;3) und (4:0) liegen darauf.

(2;3) ist Sattelpunkt, hat eine waagr. Tangente (steht auch im Text); außerdem ist er Wendepunkt und Symmetriepunkt.

Überlege, was das für \( f \), \( f' \) und \( f'' \) bedeutet.

Grüße,

M.B.

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f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

f (0)=6=d

I: f (4)=64a+16b+4c+6=0

f'(x)=3ax^2+2bx+c

II: f'(2)=12a+4b+c=0

III: f (2)=8a+4b+2c+6=3

Drei gleichungen, 3 unbekannte, kann man auflösen.

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I: f (4)=64a+16b+4c=-6

II: f'(2)=12a+4b+c=0

III: f (2)=8a+4b+2c=-3

II': -48a-16b-4c=0

III': -32a-16b-8c=12

I+II': 16a=-6

a=-3/8

I+III': 32a-4c=6

a einsetzen

-12-4c=6

c=-4,5

Einsetzen in II

12*-3/8+4b-4,5=0

b=2,25

f (x)=-3/8*x^3+2,25*x^2-4,5*x+6

b) Fläche bestimmen

A=04 -(3/8x^3+2,25x^2-4,5x+6) dx

=[-3/32 x^4 + 0,75x^3 -2,25x^2 + 6x]0

= [-3/32*256+0,75*64-2,25*16+24]-[0]= 12

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a)

Sattelpunkt bei P\((2|3)\) verschieben um \(3\) nach : P'\((2|0)\) Hier ist nun eine Dreifachnullstelle:

\(f(x)=a(x-2)^3\)

Y\((0|6)\)  : Y´\((0|3)\):

\(f(0)=a(0-2)^3=-8a=3\)

\(a=-\frac{3}{8} \):

\(f(x)=-\frac{3}{8}(x-2)^3\)

:  \(p(x)=-\frac{3}{8}(x-2)^3+3\)

Unbenannt.JPG

b)

Bestimmung der Fläche:

\(A= \int\limits_{0}^{6}(-\frac{3}{8}[(x-2)^3+3]dx =-\frac{3}{8} \int\limits_{0}^{6}[(x-2)^3-3]\)

Substitution:

\(x-2=u\)    \(x=u+2\)  \(dx=du\)

Veränderung der Grenzen:

untere Grenze:  \(0-2=u\)→  \(u=-2\)

obere Grenze:  \(6-2=u\)→\(u=4\)

\(A =-\frac{3}{8} \int\limits_{-2}^{4}[u^3-3]du=[-\frac{3}{8}( \frac{1}{4}u^4 -3u) ]_{-2}^{4}\)

Nun noch ausrechnen.

Resubstitution ist nun nicht mehr nötig, weil die Integralgrenzen angepasst sind.


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