Aber bei x = -3, woher soll ich wissen ob dort jetzt eine Extremstelle ist oder ein Sattelpunkt (Wendepunkt kann es …

Question

Aufgabe:

Ich muss Anhand dieser Abbildung die Nullstelen der Ableitung, Monotonie, Krümmung und Extrempunkte bestimmen.

Ohne Rechnung

Gf‘ hat Nullstellen an den Stellen wo Gf eine Waagerechte Tangente hat, also einmal beim TiP x = 0

Aber bei x = -3, woher soll ich wissen ob dort jetzt eine Extremstelle ist oder ein Sattelpunkt (Wendepunkt kann es ja nicht sein wegen kein Krümmungswechsel) ich kann das irgendwie nicht gescheit bestimmen, woran würdest ihr erkennen ob das jetzt ein TIP TOP oder Sattelpunkt ist oder ist, kann das auch gar nix sein?

Comments

Für mich sieht das sehr nach einem Sattel aus:

In der Geometrie: Ein Punkt, an dem eine Kurve von einer konvexen zu einer konkaven Form übergeht oder umgekehrt. Das ist doch hier der Fall.

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Du findest das detailliert erklärt unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt

https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt

https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert

Steht aber mit Sicherheit auch in Deinem Lehrbuch.

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@Der_Mathecoache

Schau dir mal bitte diese Aufgabe an, ich habe bei TIP(0/0) eine Waagerechte Tangente und bei ca. TEP (-3/6,3)  auch eine.

Jetzt muss doch dazwischen noch ein Wendepunkt sein oder wenn nicht dann geb ich es auf.

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Wer behauptet denn, dass dazwischen kein Wendepunkt ist? Die Wendestelle liegt in etwa bei \(x=-1,5\).

Answer 1

Das ist ein Sattelpunkt. Das sieht man doch. Ein Sattelpunkt ist immer auch ein Wendepunkt. Und dort sieht man auch sehr wohl einen Krümmungswechsel, nämlich von links nach rechts. Wo siehst du denn da bitte keinen Krümmungswechsel? Ist dir klar, was die Krümmung geometrisch bedeutet?

Comments

Ein Sattelpunkt hat immer eine Waagerechte Tangente aber ein normaler Wendepunkt nicht oder?

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Richtig. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit Steigung 0.

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Und Extrempunkte/Stellen HOP und TIP auch oder?

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Dort muss die Steigung ebenfalls 0 sein. Diese Bedingung ist jedoch nur notwendig und nicht hinreichend. Das bedeutet, wenn die Steigung 0 ist, liegt nicht automatisch ein Extrempunkt vor. Es könnte ja auch ein Sattelpunkt sein.

Answer 2

Zu x=-3: Weißt Du, was Extremum heißt? Wäre hier ein Extremum, wäre es Deiner Meinung nach ein Maximum oder Minimum?

Zum Wendepunkt: Ja, darin ändert sich die Krümmung. Weißt Du, was das bedeutet? Stell Dir vor, Du fährst mit dem Rad die Kurve von links oben kommend entlang. Beobachte die Lenkerstellung - beim Durchfahren von Wendepunkten ändert sich die Lenkerstellung von links nach rechts, oder umgekehrt.

Mach Dir die Begriffe klar, sonst bleiben solche Aufgaben rätselhaft.

Comments

Und bei einem Sattelpunkt wechselt sich die Krümmung da immer?

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Siehe meine Antwort.

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@Apfelmännchen wenn man sich jetzt die Krümmung anhand einer Grafik anschauen muss, sollte man von Koordiatenursprung entlang der Funktion gehen oder von links oben wie machst du das, weil wenn ich vom links oben nach unten gehen sehe ich den Wechsel sehr schwer, aber wenn ich vom Koordinatenursprung entlang laufe sehe ich es besser das sich die Krümmung wechselt.

Wie machst du das?

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Ich hab's Dir doch oben mit dem Fahrrad erklärt. Was ist daran unklar? Von Koordinatenursprung steht da nichts, sondern von links oben beginnend. Kannst Du Fahrradfahren (ernste Frage, wenn nicht, hilft natürlich die Erklärung nicht)?

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Was man vielleicht dazu sagen sollte: Stelle dir den Graphen wie eine Straße vor. Du guckst von oben drauf, wie bei einer Karte. Dann sollte der Krümmungswechsel erkennbar sein.