Kreisfläche mit Polarkoordinaten berechnen

Question

 ich habe ein paar Fragen zur Berechnung des Doppelintegrals in dem Bild unten.

Das innere Integral geht von 0 bis R. Was berechne ich damit? Einfach einen Strich auf der x-Achse, der die Länge des Radius hat? Und wieso wird bei dem inneren Integral 1*r integriert? Unser Prof. meinte das r ist ein metrischer Faktor, mit dem man bei der Rechnung mit Polarkoordinaten irgendwas korrigieren muss. Leider hat er die Bedeutung von diesem metrischen Faktor nicht näher erklärt. Und da keine Funktion vorgegeben ist nimmt man einfach den Faktor 1 vor dem Integral, also 1*r.

Vielleicht kann mir jemand erklären was es mit diesem metrischen Faktor r auf sich hat und wieso man 1*r einfach rechnet, als0 welche Bedeutung die 1 hat.

Fläche des Kreises in Polarkoordinaten

\( \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{R} r d r d \phi=\left.\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot r^{2}\right|_{0} ^{R} d \phi=\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot R^{2}-\frac{1}{2} \cdot 0^{2} d \phi \)
\( =\int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot R^{2} d \phi=\left.\frac{1}{2} R^{2} \cdot \phi\right|_{0} ^{2 \pi}=\frac{1}{2} R^{2} \cdot(2 \pi-0) \)
\( =\frac{1}{2} R^{2} \cdot 2 \pi=R^{2} \pi \)

Answer 1

zur Berechnung der Fläche integrierst du über alle Flächenelemente dA.

A=∫dA

In kartesischen Koordinaten gilt dA=dx*dy , also die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen dx und dy.

Das Flächenelement in Polarkoordinaten kann man auch geometrisch herleiten.

Dann hat eine Seite des Rechtecks die Länge dr und die andere Seite die Länge r*dφ (in linearer Näherung).

Deshalb gilt dA=r*dr*dφ

Comments

zur Berechnung der Fläche integrierst du über alle Flächenelemente dA

Was sind Flächenelemente bei Polarkoordinaten, einfach nur Punkte?

Und warum integriert man im inneren Integral r nach dr. Ich bin da noch zu sehr im Schulmodus drin und möchte da eine Funktion stehen haben ;) Mit dem r kann ich gerade nix anfangen. Vielleicht kannst du mir das noch erklären

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Flächenelemente sind auch in Polarkoordinaten kleine Flächenstücke.

In dem Bild oben wäre das gelb markierte Flächenstück ein Flächenelement.

Dann nimmt man die Formel von oben

A=∫dA

setzt für dA nun r*dr*dφ ein. Der Faktor r steckt in der Geometrie der Polarkoordinaten.

A=∫∫r*dr*dφ

Die Grenzen der beiden Integrale hängen von dem Objekt ab, von dem du die Fläche bestimmen möchtest.

Solange du nur Flächen bestimmst, steht im Integral immer nur dA.

Answer 2

Hi Simon,

Bei dem r handeltes sich um die Jacobi-Determinante, die man zur Transformation braucht. Kann man sich auch geometrisch herleiten (siehe wikipedia).

Die Integrationsgrenze 0 bis r rührt daher, dass Du bei einer Kreisfläche jeden Punkt erreichen möchtest. Du hast also von 0 bis r alles "abzufahren". Mit dem Winkel 0 bis 2π sicherst Du Dir die Möglichkeit einmal rundrum zu gehen :).

Dass Du den Faktor 1 hast, liegt daran, dass Du die Fläche errechnen willst. Das wird mit f = 1 erledigt. Wenn Du f anderes zuordnest (bspw f = x), dann würdest Du Eigenschaften hinzuziehen (im Bsp. wäre das unter Umständen eine Miteinbeziehung des Schwerpunktes bzgl x-Achse) etc.

Grüße

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Alles klar.

Wie würde die Flächenberechnung mit kartesischen Koordinaten aussehen? Nur der allgemeine Ansatz, ausrechnen will ich es dann selbst. Ich möchte mal den Vergleich sehen von Polar-, zu kartesischen Koordinaten.

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Du rechnest von der linken Seite zur rechten Seite. Also -r bis r. Dann musst Du den oberen wie unteren Halbkreis als Funktion ausdrücken. Was √(x^2+y^2) für den oberen Teil wäre und negativ für den unteren Teil. Und damit unhandlich, weswegen man in Polarkoordinaten übergeht  (kannst es ja aber trotzdem mal probieren. Für nen Kreis noch recht einfach.)

Tipp um Dir das Leben zu erleichtern: errechne nur den Flächeninhalt des ersten Quadranten ;). Dann *4.

Answer 3

Ja,

$$dx dx = r dr d\pi,$$

ist der Zusammenhang zwischen Maß in kartesischen und Polarkoordinaten. Das "r" ist die Funktionaldeterminante (Stichwort Transformationssatz):

Nehmen wir an du hast eine Transformation zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten:

$$\Phi: \binom{r} {\varphi}\mapsto \binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}.$$

Dann ist die Jakobimatrix

$$ D\Phi =\begin{pmatrix}\frac {\partial \Phi_1}{\partial r}& \frac{\partial \Phi_1}{\partial \varphi}\\\frac {\partial \Phi_2}{\partial r}& \frac{\partial \Phi_2}{\partial \varphi}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\varphi& -r\sin\varphi\\\sin\varphi& r\cos\varphi\end{pmatrix}$$

und die Determinante \( \det{D\Phi} = r\).

Wegen \(dx dy =  |\det{D\Phi}| drd\varphi\) hast du dieses r.

Und wenn du die "1" über eine Menge integrierst, bekommst du eben das Volumen (in dem Fall Flächeninhalt) der Menge. Genauso, wie du, wenn du in einer Dimension von 1 bis zwei integrierst:

$$ \int_1^2 dx= 2 - 1 = 1$$

die Länge des Intervalls [1,2] erhältst.

Comments

Danke auch für deine Antwort.

Welches Vorwissen braucht man denn um die Herleitung von diesem r verstehen zu können? Ich habe heute meine erste Höhere Mathematik Vorlesung besucht. Wir haben diese Mehrfachintegrale auch nur kurz eingeschoben, weil wir das für Elektrotechnik und Mechanik brauchen. Über Transformationssatz, Jakobi-Matrix haben wir nicht gesprochen. Ohne dieses Wissen kann man die Herleitung von dem r nicht verstehen oder?

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"Ich habe heute meine erste Höhere Mathematik Vorlesung besucht"Dann ganz sicher nicht :) schau dir mal die Grafik an, die oben gepostet wurde oder nimms fürs erste einfach mal hin :)