Schnittfläche bei zwei Kreisen ist die halbe Kreisfläche

Question

Wie groß muss r sein, damit die rote Fläche die Hälfte der Kreisfläche ist?

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Die Aufgabe kam schon einmal:

https://www.mathelounge.de/153958/kreisformige-durchmesser-beliebigen-kreislinie-angebunden

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Wie man die Ziege bei verschiedenen Wiesen anbinden kann, ist ein beliebtes Thema im russischen Mathematikunterricht. Siehe dazu den häufig rezyklierten Klassiker: http://kvant.mccme.ru/1974/05/koza_na_privyazi.htm

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Dia Aufgabe kam auch schon unter

https://www.mathelounge.de/32223/zwei-sich-uberschneidende-kreise

https://www.mathelounge.de/51002/lang-muss-sodass-ziege-genau-halbe-flache-wiese-abfressen-kann

https://www.mathelounge.de/224803/bauer-bert-und-seine-ziege

Answer 1

Das ist ein relativ altes Problem

http://www.khloebel.de/mathe/Ziege/Ziege.html

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Wenn ich das richtig verstehe, muss gelöst werden (Wolfram-Notation):

NSolve[x == Pi/(Pi x - Sqrt[4 - x^2] + (4/x - 2 x) ArcSin[x/2]),x]

was bei Wolfram Alpha dieselbe Antwort gibt wie bei khloebel.de, bei Mathematica standalone (Version 10.1) aber ewig rechnet ohne zu einem Ergebnis zu kommen.

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Du musst vermutlich bei Mathematica die Genauigkeit (Anzahl der Nachkommastellen) mit angeben:

..., WorkingPrecision -> 44]

probier mal:

A173201 = x /. FindRoot[(-x*Cos[x] + Sin[x] - Pi/2)/(Sin[x]*x), {x, 1}, WorkingPrecision -> 105]; RealDigits[2*Cos[A173201/2] ][[1]]

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Warum 44 und 105? Beim ersten Vorschlag (44) gibt es aus: "NSolve::nsmet: This system cannot be solved with the methods available to NSolve".

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... weil ich mich vertippt hatte. Aber 44 führt auch nicht dazu, dass es zu einem Ende kommt.

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Also der Befehl für WolframAlpha und Mathematica lautet:

FindRoot[x==Pi/(Pi x - Sqrt[4 - x^2] + (4/x - 2 x) ArcSin[x/2]),{x,1.1}, WorkingPrecision -> 44] 

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Ich will ja unter gar keinen Umständen einen Schüler dazu aufstacheln, seinen Mathelehrer zu ärgern. Gar nicht. Wollte der Schüler so etwas tun, könnte er sagen, nachdem der Mathelehrer die Lösung aus dem Hut gezaubert hat, dass sie richtig sei wenn die Erde eine Scheibe wäre, bei genauerer Betrachtungsweise die Schnittfläche jedoch eine sphärische Linse begrenzt durch zwei Kleinkreise sei, die größer ist als eine planimetrische Linse. Und dann fragen, wie die Lösung eigentlich aussehe auf einem WGS84-Ellipsoiden.

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Ja, dazu hatte ich auch schon Überlegungen:

https://www.mathelounge.de/217041/suche-gute-beispiele-doppelintegral-uberlappenden-flachen

Answer 2

Diese Ziegenfaktor-Aufgabe ist schon etwa 30 Jahre alt und wird jedes Jahr neu gefragt:

http://www.gerdlamprecht.de/133731Ziegenfaktor.htm

Es gibt 2 grobe Algorithmen (Lösungswege), die jeweils auf Iterationsformeln hinführen.

Am Ende zig LINKs, da die Aufgabe immer wieder neu erfunden wird.

Für die, die den LINK nicht finden die Iterationslösung 1 als Bild (asin-Iteration):

Beispiel 3: atan - Iteration

Beispiel 4: Newton-Iteration mit sin & cos

bei 100000 Stellen habe ich aufgehört...

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Wie kommst du auf das Integral auf deiner Webseite?

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Ich hatte doch auf die vielen LINKs am Ende hingewiesen:

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/dl.php?id=17&1139827476

Um auf die Fläche zu kommen braucht man die Halbkreisfunktion:

f(x) = sqrt( r² - x² )

die gleich der halben Kreisfläche sein muss.

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Pi/4 = Integrate[
  Sqrt[x^2 - t^2] + Sqrt[1 - t^2] - 1, {t, 0, Sqrt[x^2 - x^4/4]}]

kommt weder auf Mathematica 10.1 noch auf Wolfram Alpha zu einem Ende.

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http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

Beispiel 36 verwendet numerische Integration kombiniert mit Iteration

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In Mathematica müsste das so aussehen:

FindRoot[Pi/4 =Integrate[Sqrt[x^2 - t^2] + Sqrt[1 - t^2] - 1, {t, 0, Sqrt[x^2 - x^4/4]}],{x,1.1},WorkingPrecision -> 44]

denn

Integrate[Sqrt[1.1587284730181215178^2 - t^2] + Sqrt[1 - t^2] - 1 dt,t=0...Sqrt[1.1587284730181215178^2-1.1587284730181215178^4/4]]

ergibt  0.785398... = Pi/4

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und warum 44?

Das FindRoot-Statement funktioniert übrigens nicht, so wie von dir hier angegeben.

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"Warum 44" -> Ich kann Dir 100 andere Konstanten nennen, die dicht neben A133731

liegen, daher sollte man mindestens 32 Stellen berechnen (numerisch noch etwas mehr).

z.B.

(3 (239-7 pi+26 pi^2))/(971+320 pi-76 pi^2)=1.1587284730181215174468849895829861826...

stimmt mit 18 Stellen überein, ist aber eine andere Konstante!

Die Konstante ist WolframAlpha natürlich bekannt:

Eingabe: 1.1587284730181215178282335099335091496882

ergibt:  G_g

"tether length at which a goat tied to the boundary of a unit circular field can graze exactly half the field"

Bei Mathematica könnte das doppelte Gleichheitszeichen fehlen:

FindRoot[Pi/4 ==Integrate[Sqrt[x² - t²] + Sqrt[1 - t²] - 1, {t, 0, Sqrt[x² - x⁴/4]}],{x,1.1},WorkingPrecision -> 44] 

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Es hört auch mit doppeltem Gleichheitszeichen nicht auf zu suchen.

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Aber

FindRoot[x==Pi/(Pi x - Sqrt[4 - x²] + (4/x - 2 x) ArcSin[x/2]),{x,1.1}, WorkingPrecision -> 44]  

funktioniert  - oder?

Das ist nichts weiter als das Integral ausgerechnet und umgestellt.

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Ja das funzt.

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Mir ist immer noch nicht ganz klar, was du mit dem Integral ausrechnest. Ist das Fläche eines Viertels des großen Kreises, der vom kleinen Kreis abgedeckt ist?

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Schau Dir das Bild auf meiner Seite genau an:

grüner Halbkreis ist f(x,t)=sqrt(x²-t²) mit x = gesuchter Radius

roter unterer Halb-Einheits-Kreis: f(t)=1-sqrt(1-t²)

Da symmetrisch -> Integral von 0 bis Schnittpunkt x_s

x_s mit  Gleichsetzung sqrt(x²-t²) = 1-sqrt(1-t²)

x_s =sqrt(x²-x^4/4)

Integralfunktion ist Differenz beider Teilfunktionen... logisch - oder?

Da wir nur die rechte Hälfte des HALBEN Flächeninhalts berechnen, ist das Pi/4

Das x muss nun so verändert werden (durch Iteration), dass die Gleichung gültig wird.

Ob man nun symbolisch (kommt das min asin raus) oder numerisch integriert (Iterationsrechner Beispiel 36), spielt keine Rolle.

Einziger kleiner Schönheitsfehler am Bild ist die in die Mitte verschobene x- (besser  t-) Achse, da es so harmonischer aussieht.

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Alles klar, das mit der ästhetisch bedingten Verschiebung der t-Achse nach oben hatte mich aus dem Konzept gebracht. Danke.

Answer 3

Wikipedia hat dazu einen Artikel "Ziegenproblem"

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Das bei Wikipedia beschriebene "Ziegenproblem" ist das "Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem"

und hat nichts hiermit zu tun.

Die LINK-Sammlung  unter

http://www.gerdlamprecht.de/133731Ziegenfaktor.htm

beinhaltet auch einen LINK von Wikipedia zum hier gesuchten Ziegenfaktor.