Parabel. Wie stelle ich die Gewinnfunktion auf?

Question

Eine Firma stellt hochwertige Produkte her. Der maximale Gewinn beträgt 3000€ wenn sie 20 Stück herstellt. Bei 50 Stück ist der Gewinn 0€. Die Gewinnfunktion wird durch eine Parabel beschrieben.

Edit:  maximale

Answer 1

G(x) = ax² + bx + c   ; a,b,und c müssen bestimmt werden.

G'(x) = 2ax + b  ,

 G(20) = 3000 ,  G(50) = 0  ;  G '(20)=0   wegen des Maximums

3000 = a*20² + b*20 + c  ⇔  400a +20b + c = 3000

0 = a*50² + b*50 + c         ⇔  2500a + 50b + c = 0

0 = 2a*20 + b                      ⇔ 40a + b = 0

Das Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten kannst du mit dem Additionsverfahren lösen:

I - II  , dann hast du zwei Gleichung mit a und b

Kontrolllösung:  a = - 10/3  ;  b = 400/3  ;  c = 5000/3

G(x) = -10/3 * x² + 400/3 * x + 5000/3

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,
Hinweis : f ´( 20 ) = 0

mfg Georg

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Hallo Georg, vielen Dank für den Hinweis. Habe das "maimale" glatt überlesen. Werde es in die Antwort einarbeiten.

Gruß Wolfgang

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Die erste Aufgabe ist gemeint

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Das sind ja dann noch ein paar Fragen mehr:

Das Folgende kannst du dir am Bild in der Antwort verdeutlichen.

> Geben Sie die minimalen und maximalen Stückzahlen an, bei denen Gewinn erzielt wird.

x_min = 0  , sehr seltsam , normalerweise hat man (wegen der Fixkosten) keinen Gewinn sondern Verlust [ G(x)<0 ] , wenn man x=0 Stück herstellt. Der Betrieb müsste externe Subventionen erhalten, wenn er die Produktion einstellt.

 x_max = 50  ergibt sich direkt aus der Aufgabe ( Gewinn für x < 50)

Also: Gewinn für x ∈ [ 0 ; 50 [    (Gewinnzone)

[ Nachtrag: einen maximalen x-Wert mit Gewinn gibt es also nicht. Wenn unteilbare Einzelstücke hergestellt werden, ist dieser Wert  x = 49 ]

Bei x_min   ist  G(0) = 5000/3 ≈ 166,67 [€]

Bei x_max  ist  G(50) = 0   

[ Nachtrag: bei x= 49   G(49) = 590/3 ≈ 196,67 [€]  ]

[ Normalerweise erhält man x_min (Gewinnschwelle)  und x_max (Gewinngrenze)  als Nullstellen der Gewinnfunktion (Parabel). Diese sind normalerweise beide positiv und ] x_min ; x_max [ ist die Gewinnzone. Wie oben schon erwähnt: diese Gewinnfunktion ist seltsam. ]

 

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Bei x_max  ist G(50) = 0

Hast du hier auch was glatt überlesen ?

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Wenn du mir etwas sagen willst, dann mach das! Fragen dieser Art werde ich bei dir in Zukunft nicht mehr beantworten.

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Wenn kein Gewinn erzielt wird, dann wird kein Gewinn erzielt.

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 Dein "Hinweis" ist in der Sache berechtigt.

Da man wohl bei "hochwertigen Produkten" von unteilbaren Einzelstücken ausgehen sollte, ist der maximale x-Wert, bei dem Gewinn gemacht wird x=49 mit G(49) = 196,67 [€]