Wie viele Songs muss man abspielen, damit ich mit 90%iger Wahrscheinlichkeit jeden einmal gehört habe?

Question

Aufgabe:

Auf einem MP3-Player sind 100 Musikstücke. Er ist auf "zufällige Wiedergabe" eingestellt.

Wie viele Songs muss man abspielen, damit man mit 90%iger Wahrscheinlichkeit jeden einmal gehört hat?

Comments

wenn gemeint ist "genau einmal"
Dann wäre die Wahrscheinlichkeit bei 101 gespielten Titeln bereits Null. (Schubfachprinzip)

Falls gemeint ist "mindestens einmal"
Hier berechnest du die Anzahl zu spielender Titel, damit Stück #41 mit mindestens 90% W. dabei ist.
Es soll aber nicht nur #41 nicht ausgelassen werden, sondern überhaupt keins. (Siebformel)

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Danke. wie sähe dann die Lösung aus. Ich habe noch nie mit der Siebformel gearbeitet.

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@Tanya: Gast hj2122 sieht deinen Kommentar auch, wenn du die vorhandene Antwort nicht meldest. Gast2016 hat dir geantwortet und die paar Punkte verdient.

Versuche besser in einem Kommentar die Frage noch so zu präzisieren, dass Gast hj2122 dann das ausrechnet, was du  wirklich wissen möchtest.

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Hallo Lu

Der Gast2111 (das ist wahrscheinlich derselbe wie Gast2122) hat mir bei meiner letzten Frage ( https://www.mathelounge.de/370168/kugel-rollt-uber-halbkugel ) auch keine vernünftige Antwort gegeben. Auf den möchte ich mich lieber nicht verlassen.

Ich versuche mal, die Frage zu präzisieren
Also: Jedes Musikstück wird zufällig ausgewählt, Wiederholungen sind möglich.
Wenn ich 100 Stücke gehört habe, dann ist die Wahrscheinlichkeit sehr gering, dass ich alle gehört habe.
Nach zwei Millionen gehörter Stücke ist die Wahrscheinlichkeit sehr groß, dass alle mal dran gewesen sind.
Meine Frage ist nun: Bei wievielen Stücken wird die Marke von 90% überschritten?

Liebe Grüße, Tanya

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Bei wievielen Stücken wird die Marke von 90% überschritten?

Wie meinst du das genau? Dass mindestens 90 Lieder von den 100 gehört worden sind?

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Nein, ich meine dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% alle Lieder gehört worden sind.

Tut mir leid, wenn ich mich nicht deutlicher ausdrücken kann.

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Eigentlich ist die Frage doch ganz einfach und wurde meiner Meinung nach auch klar verständlich formuliert.

Ein MP3 Player spielt zufällig immer einen von 100 Titeln ab. Wie viele Lieder muss man sich anhören, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% alle Lieder (mind.) einmal gehört hat.

Gast2016 hat berechnet wie viele Lieder gespielt werden müssen damit ein bestimmtes Lied zu 90% gespielt worden ist.

Wenn ich das mit 10 Liedern durchrechne

Wenn ich 22 Lieder anhöre habe ich ein bestimmtes Lied mit einer WK von 90.15% gehört.

Wenn ich mir 22 Lieder anhöre habe ich aber alle Lieder mit einer WK von nur 57.76% gehört.

Wenn ich mir 37 Lieder anhöre habe ich alle Lieder mit einer WK von 90.12% gehört.

Mit 10 Liedern ist das noch recht einfach durchzurechnen. Mit 100 wird mir das persönlich zu kompliziert weil ich auch nach einer passenden Formel suchen müsste.

Um eine passende Formel zu finden würde ich das Ganze jetzt für n = 1, 2, 3, 4, 5, ... Lieder untersuchen und schauen ob sich da ein Zusammenhang finden lässt.

Wem die Mühe nicht zu viel ist, kann das ja versuchen. Man kann dabei sicher viel lernen. Ansonsten hilft das Warten auf jemanden der einen praktikablen Weg kennt. Die Siebformel hatte ich früher nie. Ich kenne auch ein paar Anwendungen für die Siebformel, wüsste aber auch nicht so recht wie ich die hier anwenden könnte.

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Wenn ich mir 22 Lieder anhöre habe ich aber alle Lieder mit einer WK von nur 57.76% gehört.

Wenn ich mir 37 Lieder anhöre habe ich alle Lieder mit einer WK von 90.12% gehört.

Das macht aber keinen Sinn.oder?

Wenn ich 37 Lieder anhöre. ist die WKT Null, alle 100 angehört zu haben.

Ich bin verwirrt.

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Der_Mathecoach rechnet mit 10 Liedern total.

@Tanya: Du meinst also zu Beginn: "Wie viele Titel muss ich abspielen, damit ich mit 90%iger Wahrscheinlichkeit jeden (alle) mindestens einmal gehört habe?" ? 

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Was bedeutet hier TOTAL?

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Zitat: "Mit 10 Liedern ist das noch recht einfach durchzurechnen. Mit 100 wird mir das persönlich zu kompliziert weil ich auch nach einer passenden Formel suchen müsste."

Ich habe es lediglich mit 10 Liedern gerechnet und nicht für 100. Natürlich könnte ich es auch vom Prinzip her mit einem kleinen Computerprogramm für 100 rechnen lassen.

Im übrigen sehe ich parallelen zum Sammelbilderproblem

https://de.wikipedia.org/wiki/Sammelbilderproblem

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Anstelle der 100 in der Frage rechnete er mal mit 10.

@Mathecoach: Schöner Vergleich und guter Link.

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@Lu

Wie würdest du "Wie viele Titel muss ich abspielen, damit ich mit 90%iger Wahrscheinlichkeit jeden einmal gehört habe?" interpretieren ?

Also ich würde es wie du sagtest ""Wie viele Titel muss ich abspielen, damit ich mit 90%iger Wahrscheinlichkeit jeden (alle) mindestens einmal gehört habe?" interpretieren.

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Bitte erlöse uns, wenn du kannst. Wie rechnet man diesen "Wahnsinn"?

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@Mathecoach: Ich hätte: """Wie viele Titel muss ich abspielen, damit ich mit 90%iger Wahrscheinlichkeit jeden (alle) mindestens einmal gehört habe?" " gedacht. Aber es wurden ja gleich zu Beginn mehrere Lesarten ins Spiel gebracht.

Du hast ja neben der Interpretation von Gast2016 noch eine andere ins Spiel gebracht mit:

"Wenn ich 22 Lieder anhöre habe ich ein bestimmtes Lied mit einer WK von 90.15% gehört.

Wenn ich mir 22 Lieder anhöre habe ich aber alle Lieder mit einer WK von nur 57.76% gehört. "

Das Sammelbilderproblem hängt von den Mischungen und der Verfügbarkeit der "seltenen" Karten ab. Hier ist nur der Zufallszahlmechanismus im Spiel. Wenn er gut ist, haben alle Songs die Wahrscheinlichkeit 1/(Anzahl Songs).

Mit 100 Songs gibt das eine riesige Rechnerei. Besser mal die theoretischen Teile im Wikipedialink genau studieren.

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Diese Aufgabe kann nicht aus dem Schulbereich stammen, obwohl sie so klingt beim ersten Blick.

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Beim Sammelkartenproblem geht man zunächst auch vereinfacht davon aus das alle Karten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zu bekommen sind.

Also das es zunächst mal keine Seltene Karte gibt und ich also beim Kauf eine bestimmte Karte mit der Wahrscheinlichkeit von 1/n bekomme. n sei hier die Anzahl der unterschiedlichen Karten.

Die andere Interpretation hatte ich nur angeführt weil Gast2016 die in seiner Rechnung angeführt hatte. Diese halte ich für verkehrt. Wie sie zu interpretieren wäre habe ich daher auch genannt.

Mit 100 Songs gibt das eine riesige Rechnerei. Besser mal die theoretischen Teile im Wikipedialink genau studieren. 

Da stimme ich dir zu. Wie gesagt würde ich das mir für sehr kleine n erstmal ausrechnen und schauen ob sich da etwas ergibt. 

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Die Formel für den Würfel lautet also wohl wie folgt:

pn = 1 - (COMB(6, 5)·(5/6)^n - COMB(6, 4)·(4/6)^n + COMB(6, 3)·(3/6)^n - COMB(6, 2)·(2/6)^n + COMB(6, 1)·(1/6)^n)

Nun muss ich die Siebformel erstmal für dieses Beispiel komplett verstehen.

Aber natürlich kann ich mir jetzt schon vorstellen wie die Siebformel für 100 aussieht. Allerdings ist da ja eine Mörder-Formel und dann müsste man noch eine Wertetabelle machen um das n zu finden, welches einen Wert von 90% liefert :(

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Scheint eine Doktorarbeit zu werden. :)

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Naja. Das kommt an in welchem Rahmen diese Aufgabe gestellt worden ist. Sicher nicht im Rahmen einer Kopfrechenaufgabe. Aber wenn es z.B. eine Programmieraufgabe für einen Rechner wäre ist das ganze doch eher Peanuts. Dann bräuchte man sich auch überhaupt nicht so eingehend mit der Theorie rumschlagen.

Aber ich persönlich finde die Frage recht spannend.

Das Sammelkartenproblem hat ja eine Formel wie viele Karten man im Mittel kaufen muss um alle zu haben. Aber im Mittel heißt sowas wie dann hat man mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 50% alle Karten. Aber nicht z.B. zu 90 oder 99% alle Karten.

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Vielen Dank, dass ihr euch so mit meiner Frage beschäftigt habt. Ich habe sie mir selbst gestellt, sie stammt nicht aus einem Buch oder so. Ich habe nicht geahnt, dass die Aufgabe so schwierig ist. Man kann die Lösung also nur mit einem Computerprogramm finden oder?

Liebe Grüße, Tanya

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In Abituraufgaben würde man eher in die Richtung fragen wie Gast2016 es beantwortet hat. Also wie viele Titel von der Playlist musst du mind. hören, damit dein Lieblingssong (1 Song der 100) mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% darunter ist.

Dann müsstest du 230 Titel hören.

Allerdings ist dann due Wahrscheinlichkeit das du alle Titel mind. einmal gehört hast sicher geringer als 90%.

Es gibt viele Aufgaben die sehr schnell sehr kompliziert werden, sodass man nicht mehr eine schöne Lösungsformel findet.

Answer 1

Mein Ansatz wäre, wenn gemeint ist "genau einmal":

(nüber100)*(1/100)^100*(99/100)^{n-100}= 0.9

Diese Gleichung kann nur ein Computer lösen, wenn überhaupt.
wolframalpha liefert ein seltsames Ergebnis. Es ist sicher gigantisch groß.


Falls gemeint ist "mindestens einmal":

1- P(ein Titel wird kein-mal gehört):

1-(99/100)^n=0.9

n= 229,11, also 230 mal.

Comments

Aber wie lautet der Ansatz, wenn "mindestens einmal" gemeint ist?