Dreifachintegral bestimmen: ∫ ∫ ∫ (x1²*x2*(cos(x1x2) dx3dx2dx1

Question

∫  ∫   ∫ (x₁²*x₂*(cos(x₁x₂)  dx₃dx₂dx₁

 Die Grenzen des ersten Integrals ganz links sind:

oben: 1     unten: x₁=0

des zweiten Integrals in der Mitte:

oben: 4      unten: x₂=1

des dritten, inneren Integrals:

oben: π     unten: x₃=0

Ich habe mich da irgendwo verrechnet.

Bei der dritten Integration nach dx₁ starte ich mit

∫ 3πx₁*sin(4x₁) dx₁

Und komme dann nach partieller Integration auf 0, bevor ich überhaupt die Grenzen einsetzen kann, was ja nicht stimmen kann.

Könnt Ihr mir bitte sagen, ob das Integral richtig ist oder ob ich mich vorher schon vertan habe.

Comments

nur dass wir nicht aneinander vorbeikalkulieren ...

$$ \int_{0}^{1}\quad \int_{1}^{4}\quad\int_{0}^{\pi}\quad x_1^2 \cdot x_2 \cdot \cos(x_1\cdot x_2) \quad dx_3\quad    dx_2\quad dx_1 $$

 ... ist wirklich die Aufgabe ?

---

Ja genau ;)

Und die Integrationsreihenfolge passt wegen der variablen Grenzen auch.

---

Wo sind hier variable Grenzen? Die sind doch alle fest!

Die Reihenfolge der Integration ist übrigens unwesentlich - dabei kann man es sich eventuell einige Probleme ersparen!

Answer 1

$$\int_0^1 \int_1^4 \int_0^\pi x^2 \cdot y \cdot \cos(xy) \, dz \, dy \, dx$$

$$= \int_0^1 \int_1^4 x^2 \cdot y \cdot \pi \cdot \cos(xy) \, dy \, dx$$

$$= \int_0^1 x^2 \pi \int_1^4 y \cdot \cos(xy) \, dy \, dx$$

$$= \pi \int_0^1 x^2 \left[ {\cos(xy)+xy\sin(xy) \over x^2} \right]_{y=1}^{y=4} \, dx$$

Grüße,

M.B.

Comments

Danke erstmal!

Bis zur dritten Zeile habe ich es auch so.

Kannst du mir mal die partielle Integration vorrechnen, also der Übergang von Zeile 3 zu Zeile 4.

Ich komme da auf [π*x*y*sin(xy)-π*x*sin(xy)]

---

(ich habe die Variablen hier umbenannt.)

(Bei Dir integrierst Du über y, dann ist x eine Konstante.)

Mit

$$\int u'v \,dx = uv - \int uv' \,dx$$

$$u' = \cos(ax),~~u = {1\over a}\sin(ax),~~v = x,~~v' = 1$$

hast Du dann

$$\int x\cos(ax) \,dx$$

$$= {1\over a}x\sin(ax) - \int {1\over a}\sin(ax) \,dx$$

$$= {1\over a}x\sin(ax) + {1\over a^2}\cos(ax)$$

Grüße,

M.B.

---

Kannst du mal die Endlösung einstellen?

---

die eckige Klammer ist eine Stammfunktion über y, Du kannst also das \( x^2 \) rausziehen und kürzen. 4 und 1 einsetzen schaffst Du wohl selber, und der sich ergebende Term lässt sich leicht nach x integrieren. (Du hast eine partielle Integration oben, die kannst Du anpassen.)

Grüße,

M.B.

Answer 2

Kannst du mal die Endlösung einstellen?

Also ich habe erhalten:

π/2 ( -4 sin(1) +sin(4) +2 cos(1) -2 cos(4)

≈ -2.725

Comments

scheint zu stimmen.

Grüße,

M.B.

---

Kann ich auch bestätigen :D