Bedingte Wahrscheinlichkeit: Ein Afrikaurlauber infiziert sich zu 0.8% mit einem Virus

Question

Hallo :)

bei dieser Aufgabe hab ich Probleme:

Ein Afrikaurlauber infiziert sich zu 0,8% mit einem Virus. Wenn er tatsächlich mit dem Virus infiziert ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,9%, dass ein entsprechender Test positiv ausfällt. Ist er nicht infiziert, fällt der Test trotzdem mit einer Wahrscheinlichkeit mit 2% positiv aus.
a) Angenommen der Test fällt positiv aus, zu welcher Wahrscheinlichkeit ist er tatsächlich infiziert?
b)Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Urlauber trotz eines positiven Testergebnisses nicht infiziert hat?

a) Ich dachte ich kann die Aufgabe so bearbeiten, dass ich 0,999/0,999+0,02 rechne und dann bekomme ich die Wahrscheinlichkeit von 98% raus. Ich denke, dass das nicht stimmen kann, weil ich ja die 0,8% nicht einbezogen hab.. aber wie rechne ich das denn richtig?

b) ungefähr das gleiche Problem wie oben...

Ich würde mich über eure Hilfe freuen!

Answer 1

Am geschicktesten finde ich es immer sich eine Vierfeldertafel anzulegen

Ein Afrikaurlauber infiziert sich zu 0,8% mit einem Virus. Wenn er tatsächlich mit dem Virus infiziert ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,9%, dass ein entsprechender Test positiv ausfällt. Ist er nicht infiziert, fällt der Test trotzdem mit einer Wahrscheinlichkeit mit 2% positiv aus.

	Infiziert	Nicht Infiziert	Gesamt
Test positiv	0.008*0.999=0.007992	0.992*0.02=0.01984	0.007992+0.01984=0.027832
Test negativ	0.008-0.007992=0.000008	0.992-0.01984=0.97216	0.000008+0.97216=0.972168
Gesamt	0.008	0.992	1

a) Angenommen der Test fällt positiv aus, zu welcher Wahrscheinlichkeit ist er tatsächlich infiziert?

p(a) = 0.007992 / 0.027832 = 28.72%

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Urlauber trotz eines positiven Testergebnisses nicht infiziert hat?

1 - p(a) = 71.28%