Fallbeispiel Fahrprüfung bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Question

Aufgabe:

Nicht jeder, der zur theoretischen Führerschein Prüfung für das „Begleitete Fahren ab 17" antritt, schließt diese erfolgreich ab; die Erfolgsquote liegt bei 76%. Allerdings hatten 18% hiervon bereits mindestens einmal die Erfahrung gemacht, die Prüfung nicht bestanden zu haben. Ein Drittel derer, welche die Prüfung nicht bestehen, hatten vorher bereits mindestens einen Fehlversuch.

Bei folgenden Teilaufgaben habe ich Probleme:

c)Erklären Sie den allgemeinen Zusammenhang zwischen der zweiten Stufe eines Baumdiagramms und der Vierfeldertafel.
d)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein:e Fahrschüler in die Prüfung tatsächlich besteht

e) Prüfungen Sie, ob das Bestehen von der Anzahl der Prüfungen abhängig ist.

Answer 1

c) Auf der zweiten Stufe eines Baumdiagramms stehen bedingte Wahrscheinlichkeiten. Wie berechnet man sie mit der Vierfeldertafel?

d) Hier gibt es nichts zu rechnen. Die Angabe findet man direkt in der Aufgabe.

e) Definiere die Ereignisse \(P: \text{ Prüfung bestanden}\) und \(F: \text{ Hatte bereits mind. einen Fehlversuch}\). Untersuche dann \(P\) und \(F\) auf Unabhängigkeit. Dafür gibt es eine Formel.

Comments

Vielen Dank. Könntest du mir e) nochmal genauer erklären?

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Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind unabhängig, wenn \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\) oder mit Hilfe von bedingten Wahrscheinlichkeiten, wenn \(P_B(A)=P(A)\) bzw. \(P_A(B)=P(B)\), also die Wahrscheinlichkeit für das eine Ereignis, nicht vom anderen Ereignis abhängt.

Answer 2

e) Prüfungen Sie, ob das Bestehen von der Anzahl der Prüfungen abhängig ist.

Direkt aus dem Text kannst du folgende bedingten Wahrscheinlichkeiten entnehmen.

P(mind. 1 Fehlversuch | Bestanden) = 0.18

P(mind. 1 Fehlversuch | nicht Bestanden) = 1/3 = 0.3333

Wenn P(mind. 1 Fehlversuch | Bestanden) ≠ P(mind. 1 Fehlversuch | nicht Bestanden) gilt, dann sind die Anzahl der Versuche offensichtlich abhängig davon, ob man eine Prüfung bestanden hat oder nicht. Und damit ist auch das Bestehen abhängig von der Anzahl der Prüfungen.

Fürs Formel und Merkheft:

Wenn gilt:

P(B | A) = P(B | nicht A) = P(B) bzw.
P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A) = P(A)·P(B)

dann ist B nicht von A abhängig und somit sind A und B unabhängig.