Zunächst einmal gilt die Ungleichung für n=1 nicht. Das ist aber nicht so wichtig.
Voraussetzung ist, dass es ein k gibt, sodass 2k+1>(k+1)2
Behauptet wird dann, dass unter dieser Voraussetzung auch 2k+2>(k+2)2 gilt.
Der Beweis benötigt einen Hilfssatz, der gesondert (durch vollständige Induktion) bewiesen werden könnte: Hilfssatz: 2k+3<2k+1
Der Beweis beginnt mit der Voraussetzung 2k+1>(k+1)2 oder 2k+1> k2+2k+1. Hier addieren wir auf beiden Seiten 2k+3. Dann steht da 2k+1 + 2k+3 > k2+4k+4. Links benutzen wir den Hilfssatz und schreiben etwas noch Größeres hin, als schon dasteht, rechts formen wir mit Hilfe der ersten binomischen Formel um: 2k+1+2k+1>(k+2)2 . Und dann 2·2k+1>(k+2)2 und schließlich 2k+2>(k+2)2.