Wie verläuft der Graph einer Funktion an einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Question

woran erkennt man ob eine polstelle mit vorzeichenwechsel einer gebrochenrationalen funktion wenn sie von links kommt nach oben oder unten geht?

in der schule haben wir es so gelernt, dass wenn sich ein graph von links an eine senkrechte asymptote annähert, dass bei einer polstelle mit  vorzeichenwechsel die funktionswerte nach -∞ streben und wenn man sich der polstelle von rechts nähert die funktionswerte gegen +∞ streben.

Da ich nun die funktion f(x)=8/(x^2-4) gegeben habe und auf geogebra gesehen habe dass sich bei der polstelle x=-2 wenn sich der graph von links nähert die funktionswerte gegen +∞ streben und nicht wie ewartet nach -∞.

Answer 1

überleg mal, was passiert, wenn du eine Zahl einsetzt, die negativer ist als -2 , also links von der Polstelle liegt....

f(x)=8/((-3)²-4) ....die -3 wird quadriert und damit zum + ...also 8/ was positives --> bleibt positiv

daher geht die polstelle von Links nach +∞ weg, nicht nach -, und da es für von rechts das gleiche ist, ist das eine Polstelle OHNE VZW.

Comments

  

Wieso wird bei Geogebra dann bei dem Funktionsterm dieser Graph angezeigt der ja eindeutig einen vorzeichenwechsel bei den beiden polstellen -2 und 2 hat?

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ach, Mist...ich hatte den Mittelteil, also die x-Werte zwischen -2 und 2 vergessen extra zu betrachten.

Wenn du zahlen zwischen -2 und 2 einsetzt, dann ist das Quadrat dieser zahl kleiner wie die 4, die abgezogen wird, und du bekommst 8/ was negatives --> also geht Richtung -∞

Answer 2

eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn beide einseitigen betragsmäßig

unendlichen Grenzwerte verschiedenes Vorzeichen haben.

Die Seite der Annäherung ist dabei unerheblich.

Gruß Wolfgang

Comments

Betragsmäßig haben beide das gleiche Vorzeichen :).

Ob ein VZW vorliegt, kann über die Vielfachheit der Nennernullstellen bestimmt werden. Gerade Vielfachheit, und wir haben keinen VZW.

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> Betragsmäßig haben beide das gleiche Vorzeichen :)
Natürlich. Und wenn dieser Betrag der Grenzwerte unendlich ist, das Vorzeichen der GW aber verschieden, hat man eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel   ************************************  > Ob ein VZW vorliegt, kann über die Vielfachheit der Nennernullstellen bestimmt werden. Gerade Vielfachheit, und wir haben keinen VZW.
Das stimmt nur, wenn man ggf. von dem gekürzten Bruch ausgeht.