Konsistenztest Unterrraumtopologie

Question

Kann mir bitte jemand bei der nachfolgenden Aufgabe helfen.

Danke.

Sei X Teilmenge eines metrischen Raumes Y. Dann ist auch X ein metrischer Raum durch Einschränkung der Metrik. Die dazugehörige Topologie auf X ist die Unterraumtopologie.

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Was ist deine Aufgabe/Frage? Sollst du: 

Sei X Teilmenge eines metrischen Raumes Y. Dann ist auch X ein metrischer Raum durch Einschränkung der Metrik. Die dazugehörige Topologie auf X ist die Unterraumtopologie.

beweisen? 

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ich schätze mal, denn mehr stand in der Aufgabe nicht drin.

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Welche (definierende) Eigenschaft einer Metrik könnte denn nicht mehr erfüllt sein, wenn man die Metrik auf eine Teilmenge von Y einschränkt?

Vermutlich genügt es, wenn du die definierenden Eigenschaften durchgehst und bestätigst. 

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@Lu: Gibt es eine definierende Eigenschaft einer Metrik, die auf einer Teilmenge von \( Y \) nicht mehr erfüllt ist?

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@Mister: Das weiss / denke ich nicht. War mir unsicher, ob Konsistenz allenfalls eine topologische Bedeutung haben könnte. 

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Was ist denn Konsistenz?

Answer 1

sei \( X \subset Y \). Dann gilt \( d(x_1, x_2) = d(x_2, x_1) \) für alle \( x_1, x_2 \in X \).

Außerdem gilt \( d(x_1, x_2) \leq d(x_1, x_3) + d(x_3, x_2) \) für alle \( x_1, x_2, x_3 \in X \).

\( d(x_1, x_2) \geq 0 \) folgt aus diesen beiden Eigenschaften (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum).

Die auf \( X \) eingeschränkte Metrik erbt also alle Eigenschaften von der Metrik, die auf \( Y \) definiert ist.

Die Topologie hat als Basis die Menge aller durch die Metrik definierten \( \epsilon \)-Kugeln \( U_\epsilon(x) = \{ x' \in X : d(x, x') < \epsilon \} \), die hier in der Konvention der offenen Mengen (\( < \)-Zeichen) gewählt sind (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Topologie)).

Mister

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Danke für die Hilfe

Hoffentlich war es wirklich eine