sei X⊂Y. Dann gilt d(x1,x2)=d(x2,x1) für alle x1,x2∈X.
Außerdem gilt d(x1,x2)≤d(x1,x3)+d(x3,x2) für alle x1,x2,x3∈X.
d(x1,x2)≥0 folgt aus diesen beiden Eigenschaften (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum).
Die auf X eingeschränkte Metrik erbt also alle Eigenschaften von der Metrik, die auf Y definiert ist.
Die Topologie hat als Basis die Menge aller durch die Metrik definierten ϵ-Kugeln Uϵ(x)={x′∈X : d(x,x′)<ϵ}, die hier in der Konvention der offenen Mengen (<-Zeichen) gewählt sind (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Topologie)).
Mister