Beh.: Für f: A→B :
(∃g: B→ A ∀y∈B: f(g(y))=y )⇔ (∀y∈B∃x∈A: f(x)=y)
Die eine "Richtung" habe ich bereits gezeigt, aber hier habe ich Probleme:
(ii)
Z.z.:(∃g: B→ A ∀y∈B: f(g(y))=y )⇐ (∀y∈B∃x∈A: f(x)=y)
Bew.:
Voraussetzung: ∀y∈B∃x∈A: f(x)=y
Es existiert also für jedes y∈B ein x∈A, sodass f(x)=y gilt. Es ist also jedem y mindestens ein x zugeordnet, somit gibt es immer eine Abbildung g: B→ A: g(y)↦x. Es gilt also f°g: B→B: y ↦ (f°g)(y) := f(g(y))=y
Ich bin mir unsicher, da "g" ja nicht zwangsweise bijektiv ist, kann mir jemand einen Tipp geben, falls dieser Beweis falsch ist? Es gibt schließlich beispielsweise für y=x^2 zwei passende x, wenn man die Mengen entsprechend wählt...Ist das in diesem Fall egal, weil es nur um die Surjektivität geht? g(y) hätte dann halt zwei Lösungen g(y)=x1 und g(y)=x2, aber trotzdem wäre ja f(g(y)=f(x1)=f(x2)=y oder?