Differenzialgleichung trennung der Variable

Question

y' *( 1 - x^2) + x*y = 0

dy/dx + (x*y)/(1-x^2) = 0

dy/y = (x/(1-x^2)*dx)

S..... integral

S dy/y = S (x/(1-x^2)*dx)

ich weiß leider nicht weiter wie ich  (x/(1-x^2)*dx) integriere kann mie da jemand helfen

Answer 1

$$ y' \left( 1-x^2 \right)+ xy = 0 $$

$$ y' = {-xy \over 1-x^2} $$

$$ {y' \over y} = {-x \over 1-x^2} $$

$$ \int_y^{y_0} {1 \over v} \,dv = {1\over2} \int_x^{x_0} {2u \over u^2-1} \,du $$

$$ \ln |y| -\ln |y_0| = {1\over2} \ln |x^2-1| - {1\over2} \ln |x_0^2-1| $$

$$ \ln |y^2| -\ln |y_0^2| = \ln |x^2-1| - \ln |x_0^2-1| $$

$$ {y^2 \over y_0^2} = {x^2-1 \over x_0^2-1} $$

$$ y^2 = \left( x^2-1 \right) C_0 $$

$$ C_0 = {y_0^2 \over x_0^2-1} $$

Grüße,

M.B.

Answer 2

ich weiß leider nicht weiter wie ich  (x/(1-x²)*dx) integriere kann mie da jemand helfenDas ist der Fall, wo der Zähler ( im Wesentlichen) die Ableitung des Nenners ist,

(fehlt nur der konstante Faktor -2, aber den kann man ja hinschreiben und vor das Integral

dann -1/2 .  So gibt es (oder Substitution   z = 1-x^2 )  als Stammfunktion


- ln ( |x^2 - 1| ) / 2   

Answer 3

x/(1-x^2)=-x/(x^2-1)

Substituiere nun x^2=z