Ungleichung beweisen: n^2 <=( Summe a)*(Summe 1/a)

Question

Hey.. ich sitze wieder mal an meinen Aufgaben und weiß bei dieser nicht mehr weiter:
n² ≤ (∑ [i=1 bis n] a_i )*(∑ [i=1 bis n]  1/a_i )
wobei a₁,..., a_n positive Zahlen sind und n ≥ 1
Die Ungleichung ist zu beweisen und außerdem soll gesagt werden, wann Gleichheit gilt.
Gleichheit gilt logischerweise für n= 1, da 1² = 1* 1/1
Als Ansatz für den Beweis habe ich, dass a + 1/a ≥ 2 für alle positiven Zahlen a gilt.( a + 1/a ≥ 2<=> a² + 1 ≥ 2a..zeigt das eigentlich schon ja)
Aber wie ich den Beweis nun führen soll mit den 2 Summen und der Ungleichung weiß ich nicht so recht.. habe es auch schon mit induktion probiert, aber habe da nicht mal wirklich einen sinnvollen Anfang für den IS gefunden.. Es wäre toll, wenn ihr mir vielleicht dabei helfen könntet, wie man an sowas herangeht.

Answer 1

für \( n = 1 \) gilt \( n^2 = 1 \geq 1 = \frac{a_1}{a_1} = \sum_{i, j=1}^{n} \frac{a_i}{a_j} \). Dies ist der Induktionsanfang.

Sei \( \sum_{i, j=1}^{n-1} \frac{a_i}{a_j} \geq (n-1)^2 \). Dies ist die Induktionsvoraussetzung.

Es ist

\( \sum_{i, j=1}^{n} \frac{a_i}{a_j} = \sum_{i. j=1}^{n-1} \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_n}{a_n} + \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{a_i}{a_n} + \frac{a_n}{a_i} \right) \)

\( \geq (n-1)^2 + 1 + 2(n-1) \)

\( = n^2 \).

Dies war der Induktionsschritt. In diesem wird vorausgesetzt, dass \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \) ist, was sich an der Minimalstelle \( a_{\min} \) von \( g(a) = a^2 + 1 - 2a \) erkennen lässt, die bei \( a_{\min} = 1 \) liegt und für die \( g(a_{\min}) = 0 \) gilt.

Bei allen Umformungen wird verwendet, dass \( a_i > 0 \) ist.

Die Gleichheit \( n^2 = \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{a_i}{a_j} \) gilt immer für \( n = 1 \) und für alle \( n \), falls \( a_i = a_j \) für alle \( i, j \) ist.

Beachte, dass an die \( a_i \) keine bestimmte Voraussetzung außer die der Positivität gestellt wird, sodass der Induktionsschritt für beliebige \( a_n \) immer gültig ist.

Mister

Comments

Ein paar j fehlen - egal.
Der letzte Satz geht viel allgemeiner.

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Welcher Satz genau?

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Vielen Dank für die Erklärung.. habe auch alles weitesgehend verstanden.

Aber ich verstehe nicht so ganz, wo g(a) herkommt bzw. wieso man die Funktion hier benutzen kann.. und was für eine Rolle sie hier spielt.
Es wäre toll, wenn man mir das noch erklären könnte.

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\( g(a) \) ist nur ein Hilfsausdruck für \( a^2 + 1 - 2 \). Er dient dem Nachweis, dass \( a + \frac{1}{a} \geq 2 \) für alle \( a > 0 \) gilt.

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Mein Kommentar bezieht sich natürlich auf deine Original-Antwort
und nicht auf die danach geänderte.

" Mister" gilt nicht als Satz.

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Ja, okay, aber welchen Satz meinst du jetzt?

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Gleichheit gilt sicher auch dann, wenn a_i = a (nicht notwendigerweise 1) für alle i = 1, ..., n  ist

Dies impliziert offenbar den Fall n=1.

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Eine letzte Sache noch, damit ich auch wirklich alles verstanden habe.

Wo kommt dieser Teil bei dem Induktionsschritt her?

+∑n−1i=1aian+anai

War der Teil davor nicht schon gleichwertig mit dem Anfang?

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Ich weiß zwar nicht genau, was du meinst, aber die Induktionsvoraussetzung kommt natürlich im Induktionsschritt vor, falls du das meinst.

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whoops.. keine ahnung, wieso das so falsch angezeigt wurde.. ich meinte..

wo ∑[ i= 1 bis n-1] a_i / a_n + a_n / a_i herkommt..

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Das sind zusammen mit \( \frac{a_n}{a_n} \) die zusätzlichen Terme, die man beim Induktionsschritt \( n \mapsto n+1 \) (hier eigentlich \( n-1 \mapsto n \)) erhält.

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ich versuche wirklich zu sehen, wieso diese Terme noch hinzukommen.. aber sehe das irgendwie nicht..
von was genau kommen die denn..?
..und tut mir leid, dass ich so viele schwierigkeiten mache.. aber vielen lieben dank dafür, dass du echt versuchst zu helfen

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Na, die Doppelsumme \( \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{a_i}{a_j} \) setzt sich zusammen aus

\( \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{a_i}{a_j} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{a_i}{a_n} + \sum_{j=1}^{n-1} \frac{a_i}{a_j} \right) \)

\( = \frac{a_n}{a_n} + \sum_{j=1}^{n-1} \frac{a_n}{a_j} + \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{a_i}{a_n} + \sum_{j=1}^{n-1} \frac{a_i}{a_j} \right) \)

\( = \frac{a_n}{a_n} + \sum_{j=1}^{n-1} \frac{a_n}{a_j} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{a_i}{a_n} + \sum_{i, j=1}^{n-1} \frac{a_i}{a_j} \)

\( = \frac{a_n}{a_n} + \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{a_n}{a_i} + \frac{a_i}{a_n} \right) + \sum_{i, j = 1}^{n-1} \frac{a_i}{a_j} \).

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So.. jetzt hab ichs endlich verstanden.. danke für deine ganze Mühe! (:..mein Problem war wohl, dass ich noch nie mit Doppelsummen gerechnet habe.. aber das ist jetzt auch klar.. vielen lieben Dank!

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Bitte. Immer gut, wenn man Doppelsummen (oder sogar Mehrfachsummen) versteht :).