a kongruent b modulo m Aussagen beweisen

Question

Es seien a,b,c,d ∈ ℝ und m ∈ ℤ. Wir sagen a ist kongruent b modulo m, wenn a-b ein ganzzahliges Vielfaches von m ist. Schreibweise: a ≡ bis m.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) a ≡ 0 mod 1 ⇔ a ∈ ℤ

b) [a ≡ b mod m] ∧ [c ≡ d mod m] ⇒ a+c ≡ b+d mod m

c) [a ≡ b mod m] ∧ [c ≡ 0 mod 1] ⇒ a*c ≡ b*c mod m

d) [a ≡ b mod m] ∧ [b ≡ c mod m] ⇒ a ≡ c mod m

Answer 1

Es seien a,b,c,d ∈ ℝ und m ∈ ℤ. Wir sagen a ist kongruent b modulo m,
wenn a-b ein ganzzahliges Vielfaches von m ist. Schreibweise: a ≡ bis m.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) a ≡ 0 mod 1 ⇔ a ∈ ℤ

a ≡ 0 mod 1  ⇔  Es gibt ein n aus Z mit n*1 = a - 0  

                      ⇔  Es gibt ein n aus Z mit n = a 

                     ⇔ a ∈ ℤ

b) [a ≡ b mod m] ∧ [c ≡ d mod m] 

⇒ es gibt  x und y aus Z mit  m*x= a-b  und  m*y= d-c

⇒  m*x + m*y =  (a-b) + ( d-c)

⇒  m*  (x +y)  =  (a+d )  -  (b +c)


⇒ a+c ≡ b+d mod mSo ähnlich gehen die anderen auch.