Funktionenschar bestimmen. Polynome 3. Grades, punktsymmetrisch zu (0|0) und g(x) = 4/x berührend.

Question

Ich habe eine Frage bezüglich Scharfunktionen.

Aufgabe:

Bestimme alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung sind und den Graphen der Funktion g mit \( g(x) = \frac{4}{x} \) berühren.

Comments

Skizze für eine solche Funktion

 ~plot~ 4/x; 4x-x^3 ~plot~

(sieht aus, als könnte die ungefähr passen).

Du solltest aber f(x) = ax + bx^3 ansetzen und dann Gleichungen aufstellen um  die ganze Funktionenschar zu finden. 

Answer 1

Hyperbel: \( h(x)=\frac{4}{x} \)
\( h(u)=\frac{4}{u} \)
Parabel: \( p(x)=a x+b x^{2} \)
\( p(u)=a u+b u^{3} \)
\( p(u)=h(u) \)
1.) \( a u^{2}+b u^{4}=4 \rightarrow b u^{4}=4-a u^{2}-\in 2 \)
\( p^{\prime}(x)=a+3 b x^{2} \)
\( p \cdot(u)=a+3 b u^{2} \)
\( h \cdot(u)=-\frac{4}{u^{2}} \)
\( p \cdot(u)=h \cdot(u) \)
2. \( ) a u^{2}+3 b u^{4}=-4 \)
\( a u^{2}+12-3 a u^{2}=-4 \)
\( 2 a \cdot u^{2}=16 \)
\( \left.a=\frac{8}{u^{2}} \in 1 .\right) b u^{4}=4-\frac{8}{u^{2}} u^{2}=-4 \)
\( b=-\frac{4}{u^{4}} \)
\( p_{u}(x)=\frac{8}{u^{2}} \cdot x-\frac{4}{u^{4}} x^{3} \)