Hi,
die Dgl. kann man schreiben als
$$ \begin{pmatrix} u(t) \\ v(t) \end{pmatrix} = e^{A \cdot t} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Mit $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Die Lösung ist
$$ u(t) = \cosh(\sqrt{2} \cdot t )+ \frac{\sqrt{2} \cdot \sinh(\sqrt{2} \cdot t )}{2} $$ und
$$ v(t) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sinh(\sqrt{2} \cdot t)}{2} $$
