Anfangswertaufgabe lösen, lineare DGL erster Ordnung

Question

Ich bräuchte Hilfe beim Lösen der Aufgabe. Vielen Dank schonmal für jeden Tipp.

Answer 1

y'=-2y/x+1/x=(-2y+1)/x

 Benutze den gegebenen Tipp: x=e^t --> w(t)=y(e^t) --> w'(t)=e^t*y'(e^t) ->y'(e^t)=w'(t)/e^t

w'(t)/e^t=(-2w(t)+1)/e^t

w'(t)=-2w(t)+1

w'(t)+2w(t)=1

Lösung:

w(t)=c₁*e^{-2t}+1/2=c₁*x^-2+1/2=y(x)

Comments

Wie kommt man auf deine angegebe Lösung ?

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Die homogene Gleichung wäre w'(t)+2w(t)=0

Das kann man mithilfe von Trennung der Variablen lösen. 

w'(t)=-2w(t)

dw/dt=-2w(t)

dw/w=-2*dt Integrieren

ln(w)=-2t+C

w_h(t)=e^{-2t+C}=c₁*e^{-2t}, c₁∈ℝ

Die partikuläre Lösung kann durch Ansatz w_p(t)=a gelöst werden, beziehungsweise man sieht auch leicht das  w_p(t)=1/2 die DGL löst.

-_> w(t)=w_h(t)+w_p(t)=c₁*e^{-2t}+1/2

Danach wurde zurücksubstituiert  x=e^t.   (e^{-2t}=e^{[t]^-2}=x^{-2})

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Danke, ich verstehe den Teil hier nicht : wp(t) = a? Was für ein Ansatz ist es?

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Für die partikuläre Lösung wählt man als Ansatz hier eine Potenzfunktion 0.ten Grades (also eine Konstante a), weil die Störfunktion g(t)=1 eine Konstante ist.

Ansatz : w_p(t)=a --> w'_p(t)=0 einsetzen in die DGL:

 w'(t)+2w(t)=0+2*a=1 --> a=1/2 --> w_p(t)=1/2

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Ist das die Inhomogene Gleichung ?

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Vielen vielen dank, für deine hilfe !

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Lautet die Lösung mit Anfangswertaufgabe :

Y= x^-2 * 1/2 +1/2 ?

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Lautet die Lösung mit Anfangswertaufgabe :

Y= x^-2 * 1/2 +1/2 ? Für y(1) = 1

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Ja, das stimmt so.

Answer 2

Anfangswertaufgabe lösen, lineare DGL erster Ordnung

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Ich hatte bisher nicht gewusst, dass man auch +ln(c) schreiben kann, statt einfach +c nach dem Integrieren. Ist das ohne weiteres möglich?

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Wenn schon "ln"  als Lösung steht kann man ohne Probleme die Konstante auch mit ln ansetzen. man muß es aber nicht.