Aussage zu einem Vektorsystem

Question

Hallo die Frage lautet :

Ist die folgende Behauptung richtig oder falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Sei (v1, · · · , vk) ein Vektorsystem in R^n und i ∈ {1, · · · , k}. Dann gilt:
Wenn das System (v1, · · · , vi, · · · , vk) linear abhängig ist, dann sind die linearen
Hüllen von (v1, · · · , vi, · · · , vk) und von (v1, · · · , vi-1, vi+1, · · · , vk) gleich.

ist damit womöglich dieser Satz gemeint ? oder gibt es ein gegenbeispiel?

Answer 1

Nein, damit ist nicht er angegebene Satz gemeint.

Aber du kannst den angegebenen Satz verwenden, um die Behauptung zu widerlegen. Konstruiere dazu ein linear abhängiges Vektorsystem und wähle aus diesem ein v_i, so dass (2) nicht gilt. Dann gilt nämlich laut Behauptung 4.1.1. auch (1) nicht.

Comments

Hallo und danke für den Tipp !

Mir fällt ein wenn ich das System ( (1,2),(0,0)) betrachte ergibt sich mit λ1=0 undλ2= 2

0*(1,2) + 2*(0,0) =(0,0)  hier sind aber nicht alle λi =0 was in (3) des satzes gefordert ist .

ich habe zuerst versucht ein vi zu finden welches sich nicht als LK beschreiben lässt hab aber keines gefunden bzw. mich gefragt wie das gehen soll wenn die Vektoren linear abhängig sein sollen , dh . sie würden sich immer als eine LK schreiben lassen oder verstehe ich da was falsch?

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> ... wenn ich das System ( (1,2),(0,0)) betrachte ...

Damit bist du auf dem richtigen Weg.

> ich habe zuerst versucht ein vi zu finden welches sich nicht als LK beschreiben lässt hab aber keines gefunden

OK. Dann schreib mal (1,2) als Linearkombination von {(0,0)}.

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Ok stimmt geht nicht hast du recht !

ich habe gelesen :

Dh also das Beispiel funktioniert um die Aussage zu Widerlegen oder?

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Ja, das funktioniert.