Direkte Beweis Unklarheit

Question

Die Aufgabe lautet:

Es sei p Element Q mit p² Element Z.

Dann ist auch p Element Z.

In meiner Lösung steht, dass b²= 1 sein muss, kann mir das jemand erklären ?

Es könnte doch auch theoretisch a²=1 sein?

Answer 1

Hi,
wenn $p = \frac{a}{b}$ gilt mit $a, b$ teilerfremd und $p^2 = \frac{a^2}{b^2} \in \mathbb{Z}$ folgt doch sofort $b^2 = 1$.
$$a^2 =1$$ macht keinen Sinn.

Comments

Warum mussb² = 1 sein? Das erschließt sich mir noch nicht.

adads

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Bei ganzen Zahlen ist der Nenner immer 1 und $\frac{a^2}{b^2}$ ist eine ganze Zahl nach Voraussetzung.

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Okay Danke und wie geht der Beweis weiter ?

Dann kann ja b 1 oder -1 sein?

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Genau, aber egal ob 1 oder -1, der Bruch $\frac{a}{b}$ ist dann immer eine ganze Zahl.