Kann ich folgendes mit den Körperaxiomen begründen?

Question

ad*(bd)^{-1} + bc*(bd)^{-1}=ad*b^{-1}*d^{-1} + bc*b^{-1}*d^{-1}=a*b^{-1}*d*d^{-1} + b*b^{-1}*c*d^{-1}=....

Die Frage bezieht sich auf den roten Teil, durch welches Gesetz wäre diese Umformung zu begründen, also das weglassen der Klammer?

Man darf nur die Körperaxiome der reellen Zahlen benutzen

Aso, und zuvor habe ich folgendes getan: 1/bd= (bd)^{-1}, das müsste aufgrund der Existenz des Inversen legitim sein.

Danke, für jede Antwort

Answer 1

ganz exakt müsste es wohl heißen

ad*(bd)^-1 + bc*(bd)^-1=ad*(b^-1*d^-1) + bc*(b^-1*d^-1)=

Und diese Klammern kannst du wegen der Assoziativität

weglassen.   Vorher müsste natürlich noch sowas

(bekannt bzw. bewiesen sein wie    (b*c)^-1  =  b^-1 * c^-1 .Richtig ist allerdings nur ( wenn K nicht kommutativ) 

  (b*c)^-1  =  c^-1 * b^-1 .

Das ist aber auch nicht wild; denn es heißt ja nur:

Das Inverse von bc ist     c^-1 * b^-1

Du musst also  bc ( sowohl von links als auch von rechts )

mit     b^-1 * c^-1  multiplizieren und zeigen, dass 1 rauskommt, etwa so

(bc) * (   c^-1 * b^-1 ) =   wegen assozit.

= (b*(c *    c^-1 )* b^-1     wegen invers zu c=   b * 1 *  b^-1    wegen  neutr.

=     b  *  b^-1     wegen  neutr.

= 1 .

Und das ganze noch von links.