Beweisen von Ungleichungen n^2 ≤ 2^n ≤ n!

Question

ich weiss jetzt nicht wie ich mit dieser Aufgabe anfangen soll und hätte gerne einen Denkanstoss.

Bestimmen Sie die kleinste Zahl n₀ ∈ N, so dass fur  n ≥ n₀  stets n² ≤ 2ⁿ ≤ n! gilt, und beweisen Sie die Ungleichungen.

Edit:  n² ≤ 2ⁿ ≤ n!   für   n 2 ≤  2 n  ≤ n!    (-Wolfgang-)

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ich weiss jetzt nicht wie ich mit dieser Aufgabe anfangen soll und hätte gerne einen Denkanstoss.

Bestimmen Sie die kleinste Zahl n0 ∈ N, so dass fur  n ≥ n0 stets n 2 ≤ 2 n ≤ n! gilt, und beweisen Sie die Ungleichungen.

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Tabelle anlegen und verschiedene Werte für n einsetzen

Answer 1

Hallo Evolock,

> Bestimmen Sie die kleinste Zahl n₀ ∈ N, so dass fur  n ≥ n₀ stets n² ≤ 2 n ≤ n! gilt, und beweisen Sie die Ungleichungen. 

Schauen wir mal nach:

n       n²     [2n]       2ⁿ       n!  

0       0         0         1         1

1       1         2         2         2

2       4         4         4         2

3       9         6         8         6

4     16        (8)      16       24

5     25      (10)       32     120  

6     36      (12)       64     720

Vermutung:    ∀ n∈ℕ₀ :    n ≥ 4   →    n²  ≤  2ⁿ  ≤ n! 

Du musst also zeigen:

∀ n∈ℕ₀ :    n ≥ 4   →    n²  ≤  2ⁿ    und    ∀ n∈ℕ₀ :    n ≥ 4   →    2ⁿ  ≤ n! 

Für den ersten Teil kannst du dir dieses  Video  ansehen.

[ das angebotene "Bezugsvideo" kannst du weglassen ]

Behauptung A(n):  ∀ n∈ℕ₀ :    n ≥ 4   →    2ⁿ  ≤ n! 

Beweis durch vollständige Induktion:

A(4):    2⁴ ≤ 4!   ↔  16 ≤ 24  ist wahr.

A(n) sei nun für ein festes n ≥ 4 wahr.  [ IV: Voraussetzung sei also: 2ⁿ ≤ n! ]

A(n) → A(n+1)

2ⁿ⁺¹ =  2 * 2ⁿ   ≤_IV   2 * n!    ≤_n≥4   (n+1) * n!   =  (n+1)!

Gruß Wolfgang