idempotenz beweisen von ∩ wie mache ich das richtig

Question

Ich soll die Idempotenz von ∩ beweisen, ich steh nur leider total auf dem schlauch und weiß nicht wie das geht.

Answer 1

Zu zeigen ist \(A\cap A=A\) für alle Mengen \(A\). Nun sind Mengen allein durch ihre Elemente bestimmt. Es muss also \(x\in A\cap A\) genau dann gelten, wenn \(x\in A\) gilt: $$x\in A\cap A\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in A\Leftrightarrow x\in A.$$ Die Idempotenz von \(\cap\) folgt also aus der Idempotenz von \(\wedge\).

Diese Aufgaben gehen alle nach dem gleichen Schema. Schreibe die zu zeigende Aussage ueber Mengen mit \(\in\) und der Definition der Verknuepfungen zu einer aussagenlogischen Aequivalenz um und beweise dann die mit den Regeln aus der Aussagenlogik.