Beweis Additionstheoreme: TAN(x + y) = (TAN(x) + TAN(y)) / (1 - TAN(x)·TAN(y))

Question

Aufgabe siehe unten. Wäre jemand so hilfreich und könnte mir diese Aufgabe ausführlich vorrechnen.

b) Zeigen Sie für \( x, y \in \mathbb{R} \) mit \( x, y, x+y \notin\left\{z \in \mathbb{R} | z=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\}, \) dass
$$ \begin{array}{l} {\qquad \tan (x+y)=\frac{\tan (x)+\tan (y)}{1-\tan (x) \tan (y)}} \\ {\text { gilt. }} \end{array} $$

Answer 1

TAN(x + y)

= SIN(x + y)/COS(x + y)

= (SIN(x)·COS(y) + COS(x)·SIN(y)) / (COS(x)·COS(y) - SIN(x)·SIN(y))

= (SIN(x)·COS(y)/(COS(x)·COS(y)) + COS(x)·SIN(y)/(COS(x)·COS(y))) / (1 - SIN(x)·SIN(y)/(COS(x)·COS(y)))

= (SIN(x)/COS(x) + SIN(y)/COS(y)) / (1 - SIN(x)/COS(x)·SIN(y)/COS(y))

= (TAN(x) + TAN(y)) / (1 - TAN(x)·TAN(y))

Comments

Verstehe das nicht. Könnten Sie mir sagen, welche Regeln sie benutzt haben und auf welchen Teil der Gleichung bezieht. Wenn es ihnen nichts ausmacht, könnten sie vielleicht ihr Lösungsweg handschriftlich hochladen.

---

Ich benutze

TAN(x) = SIN(x) / COS(x)

sowie die Additionstheoreme vom Sinus und vom Kosinus.

Wenn es dir nichts ausmacht solltest du meine Schreibweise handschriftlich als richtige Brüche schreiben. Wenn du es selber nicht kannst, kannst du meinen Term bei Wolframalpha eintippen und erhältst es als Bruch. Aber du solltest dir mal selber die Arbeit machen. Ich mache es extra nicht weil es dir beim Abschreiben hilft über das was du notierst nachzudenken. Dadurch erhöht sich für dich der Lerneffekt.

Die Additionstheoreme vom Sinus und vom Kosinus sollten denke ich bekannt sein. Wenn nicht kannst und solltest du sie dir auch herleiten.

SIN(x + y) = ...

COS(x + y) = ...

---

Er @Der_Mathecoach könnten Sie mir erklären was eigentlich diese Aufgabe bedeutet ? Also " Zeigen Sie für x,y...."

Blicke da irgendwie nicht durch...

Und was ist das Ziel bei so einer Aufgabe ? Muss man am Ende wieder auf die gleiche Gleichung kommen oder wie verstehe ich das ?

Wäre sehr dankbar bei einer Antwort

---

Du musst zweigen das die Terme rechts und links vom Gleichheitszeichen für den gegebenen Definitionsbereich identisch sind.