zeigen, dass 5^n -1 durch 4 teilbar ist

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n∈ℕ₀ gilt. Die Zahl 5ⁿ-1 ist durch 4 teilbar.

Wie erfasst man "durch 4 teilbar"?

Comments

Was meinst du mit erfassen?

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Ich brauch ja irgendeinen Term auf der rechten Seite, der mir aussagt, dass die Zahl n durch 4 teilbar ist.

Oder nicht?

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Auf die rechte Seite kommt 5ⁿ-1. Auf die linke Seite kommt eine 4. Und zwischhen diese beiden Seiten kommt ein vertikaler stricht; der bedeutet "ist Teile von". Das ergibt dann

        4 | 5ⁿ - 1

und bedeutet "4 ist ein Teiler von 5ⁿ -1".

In einem Beweis geht es nicht darum, Gleichungen in andere Gleichungen zu überführen. Es geht darum, aus bekanntermaßen gültigen Aussagen mittels logischer Regeln andere Aussagen  abzuleiten.

Answer 1

Durch 4 kann man gerade die Vielfachen von 4 teilen. Als Tipp: $$5^{n+1}-1=5(5^n-1)+4$$

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Durch 4 kann man gerade die Vielfachen von 4 teilen

Wie kann ich das als Term mit n darstellen?

Answer 2

Hallo Simon,

Behauptung A(n):   5ⁿ - 1  ist durch 4 teilbar   (für alle n∈ℕ)

Beweis durch vollständige Induktion:

Basis n=1:  5¹ - 1 = 4 ist durch 4 teilbar.

A(n) → A(n+1):

Sei also  5ⁿ -1 teilbar durch ein festes n  (Induktionsvoraussetzung IV)

5ⁿ⁺¹ - 1  = 5 * (5ⁿ - 1/5) = 5 * (5ⁿ - 1/5 - 4/5 + 4/5)

= 5 * (5ⁿ - 1 - 4/5)  = 5 * (5ⁿ - 1) + 4

Teilbar durch 4 nach IV

→   5 * (5ⁿ - 1)  tb. durch 4    →   5 * (5ⁿ - 1) + 4  →  5ⁿ⁺¹ - 1  teilbar durch 4

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang

5ⁿ⁺¹ - 1  = 5 * (5ⁿ - 1/5) = 5 * (5ⁿ - 1/5 - 4/5 + 4/5) 

= 5 * (5ⁿ - 1 - 4/5)  = 5 * (5ⁿ - 1) - 4

Müsste das nicht

5ⁿ⁺¹ - 1  = 5 * (5ⁿ - 1/5) = 5 * (5ⁿ - 1/5 - 4/5 + 4/5)

= 5 * (5ⁿ - 1 + 4/5)  = 5 * (5ⁿ - 1) + 4

lauten?

Noch eine Frage:

→   5 * (5ⁿ - 1)  tb. durch 4    →   5 * (5ⁿ - 1) - 4  →  5ⁿ⁺¹ - 1  teilbar durch 4

(5ⁿ - 1) ist durch 4 teilbar nach IV. Da bin ich noch dabei :)

Warum ist aber das 5-fache dieser Zahl auch wieder durch 4 teilbar?

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> Warum ist aber das 5-fache dieser Zahl auch wieder durch 4 teilbar?

Weil das dreifache von 28 auch durch 4 teilbar ist.

Allgemeiner: angenommen r ist durch 4 teilbar. Sei dann s eine ganze Zahl, so das r = 4s ist.

        5r

        = 5·(4·s) wegen Definition von s

        = (5·4)·s wegen Assoziativgesetz

        = (4·5)·s wegen Kommutativgesetz

        = 4·(5·s) wegen Assoziativgesetz

s und 5 sind ganze Zahlen. Weil ℤ ein Ring bezüglich Multiplikation ist, ist auch 5s eine ganze Zahl. 5r ist das vierfache einer ganzen Zahl, also ist 5r durch 4 teilbar.

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@ Simon

> ... = 5 * (5ⁿ - 1) + 4 lauten?  Richtig, habe es editiert.

Answer 3

die Induktionsbehauptung kann man schreiben als

5^n -1=4*m ,mit m∈N0

Dann ergibt sich im Induktionsschritt

5^{n+1}-1=5*5^n -1=5*(5^n -1)+4=5*4m+4

=4*(5m+1)=4m'