Zeigen Sie mit vollst. Induktion 5^n-1 ist für alle n element N durch 4 teilbar.

Question

also Induktion ist mir schon klar, nur der I.S reicht aus...

also 5^{n+1} - 1 = 5^1*5^n -1

wie gehts nun weiter?

mfg 

Answer 1

5^{n+1}-1=5*5^{n}-1=4*5^n +(5^n -1)

Der linke Summand ist wegen dem 4* durch 4 teilbar und der rechte Summand ist nach der Induktionsvoraussetzung ebenfalls durch 4 teilbar, also auch die gesamte Summe durch 4 teilbar.

Answer 2

also 5ⁿ⁺¹ - 1 = 5¹*5ⁿ -1

= 5¹*5ⁿ -1  - 4 + 4 

= 5¹*5ⁿ -5  + 4

= = 5*  ( 5ⁿ - 1 ) + 4 

Die Klammer geht durch 4 (Ind.vor.) und der

zweite Summand auch.  Bingo!

Comments

super danke dir... kannst du zufällig auch 11^{n+1} + 12^{2n-1} ist für alle n ∈ ℕ durch 133 teilbar?

geht das so:

11^{n+1+1}+12^{2(n+1)^}-1 =

11^n*11^1*11^1+12^n·12^n·12^2·12^{-1} =

mehr weiß ich nicht...

mfg

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egal habs schon... danke trotzdem... für die es interessiert:

=11^{n+1}*11+12^{2n-1}*12^2

=11^{n+1}*11+12^{2n-1}*144

=11^{n+1}*11+12^{2n-1}*(133+11)

=(11^{n+1}+12^{2n-1})*11+12^{2n+1}*133

Laut Voraussetzung ist 11^{n+1}+12^{2n-1} durch 133 teilbar, der zweite Summand aufgrund des Faktors 133 sowieso, also ist auch die Summe durch 133 teilbar.

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die antwort oben hab ich aus dem internet 1 zu 1 kopiert, nicht von mir also