a) √2 < r ≤ 13
Das heißt r liegt im Intervall (√2;13], und die runde Klammer bedeutet, dass √2 nicht mehr dabei ist und die eckige Klammer 13 bedeutet dass 13 dabei ist.
Wir wissen also, dass das Infimum von diesem Intervall √2 ist und das Supremum von diesem Intervall 13 ist.
Da Q dicht in R liegt, folgt sofort, dass inf(A)=√2 und sup(A)= 13.
Wegen √2∉A ist √2 kein Minimum der Menge und wegen 13 ∈ A ist 13 auch ein Maximum der Menge A.
Reicht das?
b) Setzt man verschiedene Werte für x<1 ein erhält man {...,-99,-9,-1,...0,0,5,0,9,0,99..}
Vermutung also, dass die Werte der Menge B im Intervall (-∞;1) liegen. Das würde heißen -∞ ist ein Infimum von der Menge B und 1 ist ein Supremum der Menge B, Max und Min existieren nicht.
Supremum
1) Beweis - s eine obere Schranke von B ist das heißt ich muss zeigen, dass x≤s ist für alle x aus B
2) Beweis - es gibt keine Zahl y < s die eine obere Schranke von B sein kann. Dazu wählt man ein beliebiges y<s und zeigt dass x>y.
Zu 1.) x÷(x-1) < 1 (strikt kleiner als 1, da es sich nur an 1 annähert Durch Umformung würde dann stehen: x < (x-1) , aber das stimmt doch nicht oder was mache ich falsch? Zu 2.) Wie soll ich das beweisen? Infimum 1) Beweis - i untere Schranke von B, zu zeigen: x ≥ i für alle x aus B2) Beweis - keine Zahl y>i als untere Schranke von B gibt. beliebiges y>i und zeige dass es für dieses y ein x aus B mit x<y gibt.
Meine Vermutung ist ja -∞ deshalb meine Frage wie zeige ich Infimum für unendlich?c) Bei C habe ich ja den Durchschnitt von zwei Mengen, ich habe sie A und B genannt. Die erste A={ 0; 0,333..; 0,5; 3/5; ....} das heißt die erste Menge A hat ein Intervall von [0;1)Die zweite Menge B={1,5; 5/3; 7/4; ...} das heißt sie hat ein Intervall von [1,5;2)Bildet man also den Durchschnitt der beiden Mengen so ergibt sich AnB={} leere Menge, da sich die erste Menge ja an 1 annähert und die zweite von 1,5 weggeht und an 2 annähert.Habe ich hierbei einen Denkfehler oder gibt es dann kein Sup, Inf, Max, Min?
d) Bei dieser Aufgabe bräuchte ich bitte Hilfe, um einen Ansatz zu finden
DANKE !
