Wie beweist man, dass eineAbbildung injektiv/ surjektiv ist? (Beweistechnik/ Strategie)

Question

Mir gehts darum, wie ich da dran gehen soll, also um die Vorgehensweise.

Ich bin dankbar für jeden Ratschlag :)

Answer 1

Hallo Silver,

sei f: A → B   eine Funktion

f ist injektiv:

für  u,v ∈ A muss dann gelten:

u ≠ v  ⇒  f(u) ≠ f(v)

damit gleichwertig ist die Kontraposition:

f(u) = f(v)  ⇒  u = v

Wenn du eine Funktionsgleichung hast schreibst du also die linke Gleichung hin und vereinfachst sie ggf. so, das sich u = v ergibt.

 Wenn das gelingt, ist die Funktion injektiv. Wenn nicht, kannst du z.B. ein Gegenbeispiel suchen (also zwei verschiedene x-Werte, die den gleichen Funktionswert haben)

f ist surjektiv:

für beliebiges y∈B  muss es (mindestens) ein x∈A  mit y = f(x) geben:

Wenn du eine Funktionsgleichung hast, löst du also die Gleichung  y = f(x)  ggf. nach x auf. 

Wenn das gelingt (nicht notwendigerweise eindeutig!) ist f surjektiv. Sonst kann man wieder ein Gegenbeispiel angeben.

Gruß Wolfgang

 

Comments

wie sähe das ganze bei einer funktion über einem kartesischen produkt aus, also f(x,y)

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was in der Antwort steht gilt auch, wenn es sich bei A bzw. B um kartesische Produkte handelt.

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Aber wie soll denn dann das endprodukt aussehen. Kann ja nicht x1 = x2 Sein weil ich ja noch ein y habe

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(x₁ , y₁) = (x₂ , y₂)   ##########

Answer 2

Seien a, b aus dem Defintionsbereich der Funktion und die Funktionswerte an den Stellen a und b seien gleich. Dann muss wegen ... auch a=b sein. Also ist die Funktion injektiv.

Sei y aus der Zielmenge der Funktion. Wegen ... existiert dann ein x, dessen Funktionswert y ist. Also ist die Funktion surjektiv.

Du musst nur noch die Lücken ausfüllen.

Comments

Wow danke :)

Ok, ich dachte da müsste irgendein hochtrabender beweis hin