Brauche Eure Hilfe bei Mengenlehre!

Question

wir nehmen aktuell Surjektivität, Injektivität und Bijektivität durch. Bei folgender Aufgabe habe ich gerade Probleme:

Es seien X,Y, Z Mengen, ϕ: X → Y und ψ: Y → Z. Beweisen Sie:  Ist ψ ◦ ϕ injektiv, so ist ϕ injektiv

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

Vielen Dank :)

(Mit ϕ ist nicht die leere Menge gemeint sondern phi)

Answer 1

ψ o φ (x) = ψ(φ(x))

wenn φ gleiche Funktionswerte von verschiedenen x-Werten "produziert", dann sind für diese x-Werte auch die Funktionswerte von ψ o φ  gleich.

Also: Wenn ψ o φ injektiv ist (keine gleichen Funktionswerte für verschiedene x-Werte hat), dann ist auch φ injektiv.

Gruß Wolfgang

Comments

Wäre dies dann schon der vollständige Beweis?

LG

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Ja, aber es gibt leider auch auch Mathematiker, denen die verbale Formulierung nicht formal genug ist:

Voraussetzung:

Es seien X,Y, Z Mengen, ϕ: X → Y und ψ: Y → Z.

ψ o φ ist injektiv

Behauptung:

φ ist injektiv 

Beweis (durch Widerspruch):

Annahme:  φ ist nicht  injektiv  

Dann gibt   u,v ∈ X  mit u≠v und  φ(u) = φ(v)

→  ψ o φ (u) =   ψ(φ(u)) =  ψ(φ(v)) = ψ o φ (v)

Das  ist ein Widerspruch zur Voraussetzung " ψ o φ ist injektiv "

→  Die Annahme ist falsch, also ist φ injektiv 

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Genauso meinte ich das :)

Super vielen Dank :)

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Hey Wolfgang bräuchte noch einmal deine Hilfe ;D

Könntest du mir folgende Aufgabe lösen wie in dem Schema von eben? :)

Es seien X,Y, Z Mengen, ϕ: X → Y und ψ: Y → Z. Beweisen Sie: ψ ◦ ϕ surjektiv ⇒ ψ surjektiv

Dankee :)

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Voraussetzung:

Es seien X,Y, Z Mengen, ϕ: X → Y und ψ: Y → Z.

ψ o φ ist surjektiv

Behauptung:

 ψ ist surjektiv

Beweis (durch Widerspruch):

Annahme:   ψ ist nicht surjektiv

Dann gibt   u ∈ Z  mit:  es gibt kein y∈Y mit  ψ(y) = u

Andererseits  gibt es ein v∈X mit ψ o φ(v) = ψ(φ(v)) = u 

Das  ist ein Widerspruch wegen φ(v) ∈ Y 

→  Die Annahme ist falsch, also ist ψ surjektiv